ln 2، 2 کا natural logarithm ہے: یعنی وہ power جس پر e کو اٹھانے سے 2 حاصل ہوتا ہے۔ geometric طور پر یہ x = 1 سے x = 2 تک curve y = 1/x کے نیچے آنے والے رقبے کے برابر ہے۔ عددی طور پر 2.71828… کو 0.69314… کی power تک لے جانے پر بالکل 2 ملتا ہے۔
curve y = 1/x کے نیچے x = 1 سے x = 2 تک کا رقبہ بالکل ln 2 کے برابر ہے۔
ln 2 half-life constant بھی ہے۔ کوئی بھی مقدار جو ایک مستقل rate سے آدھی ہوتی جائے، اُس کے لیے N(t) = N₀ · e^(-λt) ہوتا ہے اور half-life t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ بنتی ہے۔ یہی قانون radioactive decay، bloodstream میں drugs کی clearance، capacitor discharge اور کافی کے ٹھنڈا ہونے جیسے نظاموں پر لاگو ہوتا ہے۔
alternating harmonic series آہستہ آہستہ ln 2 کی طرف converge کرتی ہے۔
ln 2 transcendental ہے (Lindemann-Weierstrass, 1885)۔ information theory میں یہ nats اور bits کے درمیان conversion دیتا ہے: 1 bit = ln(2) nats۔ اسی طرح alternating series 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ بالکل ln 2 پر converge کرتی ہے۔ اس کی decimal expansion 0.69314718055994530941723212145817… تک معلوم کی جا چکی ہے۔
ہر half-life پر مقدار آدھی رہ جاتی ہے، اور اس قانون میں ln 2 بنیادی constant ہے۔
2 کا natural logarithm تقریباً 0.69314718055994530941 ہے۔ یہ irrational اور transcendental دونوں ہے۔ ln 2، x = 1 سے x = 2 تک hyperbola y = 1/x کے نیچے آنے والے رقبے کے برابر ہے۔ doubling اور halving کے ہر عمل میں یہی constant آتا ہے: growth rate r ہو تو doubling time ln(2)/r ہوتا ہے۔ information theory میں 1 bit = ln 2 nats بنتا ہے، اور computing میں n values کو represent کرنے کے لیے درکار binary digits log₂(n) = ln(n)/ln(2) سے دیے جاتے ہیں۔
2 کا قدرتی لوگارتھم is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the alternating harmonic series.