ایردوش-بورویِن مستقل E یہ مجموعہ ہے: 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯۔ ان مخرجوں کو مرسین اعداد 2ⁿ − 1 کہتے ہیں۔ پال ایردوش نے 1948 میں صرف binary representations کی ابتدائی خصوصیات استعمال کر کے ثابت کیا کہ E غیر ناطق ہے۔
The partial sums converge quickly to E ≈ 1.6066951524. The denominators 2^n−1 grow geometrically, making convergence much faster than the Basel problem.
یہ سلسلہ geometric انداز میں بہت تیزی سے متقارب ہوتا ہے: ہر جز تقریباً پچھلے جز کا آدھا ہے، کیونکہ بڑے n پر 2ⁿ − 1 تقریباً 2ⁿ ہوتا ہے۔ صرف 20 جز لینے کے بعد مجموعہ 6 اعشاری جگہوں تک درست ہو جاتا ہے۔ اس کی مساوات E = Σ d(n)/2ⁿ، جہاں d(n) n کے odd divisors کی تعداد ہے، اسے divisibility theory سے جوڑتی ہے۔
یہ فوقِ جبری ہے یا نہیں، ابھی کھلا سوال ہے۔ ایردوش کے ثبوت کی یادگار بات اس کی سادگی ہے: اس نے اس حقیقت کو استعمال کیا کہ مخرجوں 1، 3، 7، 15، 31… کی binary صورتیں 1، 11، 111، 1111، 11111… ایک خاص ساخت رکھتی ہیں، جو مجموعے کو ناطق ہونے سے روکتی ہے۔ قیمت: 1.60669515245214159769492939967985…
Each denominator 2^n - 1 is roughly twice the previous. Sum converges to E ~1.6066951524.
ایردوش-بورویِن مستقل E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669 ہے۔ پال ایردوش نے 1948 میں 2^n - 1 والے مخرجوں کی بائنری خصوصیات استعمال کر کے اس کی غیر ناطقیت ثابت کی۔ یہ Σ d(n)/2^n کے برابر بھی ہے، جہاں d(n) n کے odd divisors کی تعداد ہے۔ سلسلہ تیزی سے متقارب ہوتا ہے؛ ہر جز تقریباً پچھلے جز کا آدھا ہے۔ یہ فوقِ جبری ہے یا نہیں، ابھی نامعلوم ہے۔