ایک مرکب عدد کے دو حصے ہوتے ہیں: ایک حقیقی حصہ اور ایک خیالی حصہ۔ خیالی اکائی i یہ خاصیت رکھتی ہے کہ i² = -1۔ ہر حقیقی عدد بھی ایک مرکب عدد ہے جہاں b = 0 ہو۔ مرکب اعداد ایک بعدی خط کے بجائے دو بعدی سطح کو بھرتے ہیں، اور اسی وجہ سے ہر کثیرالحدی مساوات کے درجے کے برابر جڑیں موجود ہوتی ہیں۔
Multiplying by i is a 90-degree counterclockwise rotation. Multiplying by i twice (i.e. by i²) is a 180-degree rotation, which turns 1 into -1. So i² = -1 is not an algebraic trick; it is a rotation.
حقیقی اعداد پر x²+1=0 کا کوئی حل نہیں۔ لیکن مرکب اعداد پر اس کے دو حل ہیں: i اور -i۔ الجبرے کا بنیادی قضیہ کہتا ہے کہ اگر آپ مرکب اعداد تک توسیع کر دیں تو درجۂ n کی ہر کثیرالحدی کی بالکل n جڑیں ہوں گی۔
Table showing polynomials over reals versus complex numbers, demonstrating every degree-n polynomial has exactly n complex roots
| POLYNOM | REELLE NULLSTELLEN | KOMPLEX |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 reelle Nullstellen | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 reelle Nullstelle | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 reelle Nullstellen | 4 |
| Jedes Polynom vom Grad n hat genau n komplexe Nullstellen, Vielfachheiten mitgezählt |
مرکب اعداد i کو متعارف کروا کر حقیقی خط کو ایک دو بعدی سطح میں پھیلا دیتے ہیں، جہاں i^2 = -1۔ ہر مرکب عدد z = a + bi کا حقیقی حصہ a، خیالی حصہ b، modulus |z| = sqrt(a^2 + b^2)، اور argument arg(z) ہوتا ہے۔ e^(iθ) سے ضرب دینے کا مطلب θ radians کی گردش ہے۔ الجبرے کا بنیادی قضیہ کہتا ہے کہ درجۂ n کی ہر کثیرالحدی کی multiplicity سمیت n مرکب جڑیں ہوتی ہیں۔ مرکب اعداد کوانٹم میکانیات، سگنل پروسیسنگ اور اولر کی شناخت کی بنیاد ہیں۔