ہر real number کو continued fraction کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯))۔ یہاں a₁, a₂, a₃, … کو partial quotients کہتے ہیں۔ π کے لیے یہ 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… ہیں، جبکہ √2 کے لیے 1; 2, 2, 2, 2, 2…۔ Khinchin نے 1934 میں ثابت کیا کہ تقریباً ہر real number کے لیے ان partial quotients کا geometric mean ایک ہی مستقل K₀ ≈ 2.68545 کی طرف جاتا ہے۔
partial quotient 1 سب سے عام ہے، اس لیے geometric mean نیچے رہتا ہے اور K₀ تقریباً 2.685 بنتا ہے۔
K₀ کا formula ایک infinite product سے بنتا ہے اور بہت آہستہ converge کرتا ہے۔ Khinchin کا theorem ان نتائج میں سے ہے جو “تقریباً ہر عدد” کے لیے درست ہوتے ہیں، مگر کسی ایک معروف constant کے لیے براہِ راست ثابت نہیں کیے جا سکتے۔ ہم آج تک π یا e جیسی کسی مشہور constant کے لیے اس theorem کی مکمل تصدیق نہیں دکھا سکے۔
1 کی dominance واضح کرتی ہے کہ Khinchin constant 3 سے کم کیوں ہے۔
چونکہ partial quotient 1 سب سے زیادہ عام ہے — تقریباً 41.5% — اس لیے K₀ ≈ 2.685، 3 سے کم رہتا ہے۔ چھوٹی قدریں geometric mean کو نیچے کھینچتی ہیں۔ اگر 1 سے 9 تک تمام values یکساں احتمال سے آتیں تو geometric mean 9!^(1/9) ≈ 4.15 ہوتا۔ 1 کی بھاری dominance K₀ کو نمایاں طور پر چھوٹا بناتی ہے۔
Khinchin’s constant K₀ ≈ 2.68545 ایک universal limit ہے: تقریباً ہر real number x = [a₀; a₁, a₂, ...] کے لیے partial quotients کا geometric mean (a₁·a₂·...·aₙ)^(1/n) K₀ کی طرف جاتا ہے۔ اسے Khinchin نے 1934 میں ثابت کیا۔ اس theorem کی سب سے حیرت انگیز بات universality ہے: تقریباً ہر عدد یہی mean share کرتا ہے، مگر π یا e جیسی کسی مخصوص constant کے لیے اسے براہِ راست verify نہیں کیا جا سکا۔ K₀ algebraic ہے یا transcendental، یہ ابھی معلوم نہیں۔