بازل مسئلہ یہ پوچھتا ہے کہ 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯ کی بالکل صحیح قیمت کیا ہے؟ یہ سلسلہ متقارب تو ہے، مگر کس عدد پر؟ پیئترو مینگولی نے یہ سوال 1650 میں اٹھایا۔ 84 سال تک یہ ہر ریاضی دان کو الجھائے رکھتا رہا، یہاں تک کہ 1734 میں 28 سالہ اولر نے اسے حل کیا۔
Partial sums approach π²/6 ≈ 1.6449 slowly. Euler proved the limit equals π²/6 in 1734, connecting analysis to geometry.
اولر کے ثبوت میں sin(x)/x کے ٹیلر سلسلے کو اس کی جڑوں ±π، ±2π، ±3π… پر مبنی ایک لامتناہی حاصلِ ضرب کی صورت میں لکھا گیا۔ جب حاصلِ ضرب کی x² والی مقدار کو ٹیلر سلسلے کی x² والی مقدار سے ملایا جاتا ہے تو فوراً Σ 1/n² = π²/6 نکل آتا ہے۔ یہ ریاضی کی مشہور ترین حسابی کامیابیوں میں سے ایک ہے۔ یہاں π کا ظاہر ہونا اتفاق نہیں، بلکہ دائرہ، کرہ اور ریمان زیٹا فنکشن کے ذریعے صحیح اعداد کی مجموعات کے درمیان ایک گہرا تعلق ہے۔
Each term 1/n^2 decreases rapidly. Their sum converges to exactly pi^2/6 ~1.6449.
یہ نتیجہ عام بھی ہوتا ہے: ζ(4) = π⁴/90، ζ(6) = π⁶/945، اور تمام زوجی زیٹا اقدار π کی طاقتوں کے ناطق ضربی عدد ہیں۔ لیکن طاق اقدار ζ(3)، ζ(5)، ζ(7)… کہیں زیادہ پراسرار ہیں۔ اپیری نے 1978 میں ζ(3) کی غیر ناطقیت ثابت کی، مگر π کی صورت میں کوئی بند فارم اب تک معلوم نہیں۔
اس بات کا احتمال کہ دو تصادفی صحیح اعداد آپس میں نسبتی اول ہوں، بالکل 6/π^2 ہے، یعنی π^2/6 کا معکوس۔ یہ تقریباً 60.8٪ بنتا ہے۔ یوں بازل مسئلہ براہِ راست عددی نظریے اور احتمال سے جڑ جاتا ہے۔