e وہ منفرد عدد ہے جس کے لیے فنکشن eˣ اپنی ہی مشتق ہوتا ہے۔ کسی مقدار کو لیں اور اسے سالانہ 100٪ کی مسلسل شرح سے بڑھنے دیں۔ ٹھیک ایک سال بعد آپ کے پاس ابتدائی مقدار کا e گنا ہوگا۔ کوئی دوسرا base یہ خود بازگشتی خاصیت نہیں رکھتا۔
جوں جوں n بڑھتا ہے، یہ سلسلہ نیچے سے e کے قریب آتا ہے اور 2.71828182845904… پر متقارب ہوتا ہے۔
Table showing (1+1/n)^n converging to e
| n | (1 + 1/n)ⁿ | Abstand zu e |
|---|---|---|
| 1 | 2,000000 | 0,71828 |
| 10 | 2,593742 | 0,12454 |
| 100 | 2,704814 | 0,01347 |
| 1 000 | 2,716924 | 0,00136 |
| 1 000 000 | 2,718281 | 0,0000014 |
| ∞ | 2,71828… | 0 |
مرکب سود کی تعبیر یہ ہے: اگر کوئی بینک سالانہ 100٪ سود دے لیکن سال میں n بار مرکب کرے تو آپ کی رقم (1 + 1/n)ⁿ گنا ہو جاتی ہے۔ ماہانہ مرکب کرنے سے 2.613 ملتا ہے۔ ہر سیکنڈ مرکب کرنے سے 2.718 کے قریب پہنچتے ہیں۔ مسلسل مرکب کرنے پر بالکل e حاصل ہوتا ہے۔
At x=1, the height of the curve is e ≈ 2.718 and the slope of the tangent is also e. No other base b^x has this property.
یعقوب برنولی نے 1683 میں مرکب سود کے مطالعے میں e دریافت کیا۔ اولر نے 1731 میں اسے e کا نام دیا۔ یہ غیر ناطق ہے (اولر، 1737) اور فوقِ جبری ہے (Hermite، 1873)۔ اس کی اعشاری توسیع 2.71828182845904523536… کبھی دہرائی نہیں جاتی۔
Starting with $1 at 100% annual interest: compounding monthly gives $2.613, daily $2.714, every second $2.718. The limit as n→∞ is exactly e.
e تقریباً 2.71828182845904523536 ہے۔ یہ وہ منفرد عدد ہے جس کے لیے e^x ہر نقطے پر اپنی ہی مشتق کے برابر ہوتا ہے۔ یعقوب برنولی نے اسے 1683 میں مرکب سود کا مطالعہ کرتے ہوئے دریافت کیا، اور لیون ہارڈ اولر نے تقریباً 1731 میں اسے e نام دیا۔ e غیر ناطق ہے (اولر، 1737) اور فوقِ جبری ہے (Hermite، 1873)۔ یہ مسلسل نمو و زوال، قدرتی لوگرتھم، normal distribution، مرکب سود، radioactive decay، اور اولر کی شناخت e^(iπ) + 1 = 0 میں ظاہر ہوتا ہے۔
اولر کا عدد e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the ٹیلر سلسلہ.