countable infinity، uncountable infinity سے واقعی چھوٹی ہے
لامتناہی ایک ہی چیز نہیں۔ Georg Cantor نے 1874 میں دکھایا کہ کچھ infinities واقعی دوسری سے بڑی ہوتی ہیں۔ صحیح اعداد، fractions اور even numbers سب ایک ہی درجے کی infinity رکھتے ہیں۔ لیکن real numbers کی infinity ان سب سے بڑی ہے، اور کوئی بھی فہرست انہیں مکمل طور پر سمیٹ نہیں سکتی۔
Cantor's diagonal argument: why the reals cannot be listed
Sizes of infinity: a strict hierarchy
قدرتی اعداد، صحیح اعداد اور rational numbers ایک ہی countable size رکھتے ہیں، جبکہ real numbers uncountable اور اس سے بڑے ہیں۔
Hilbert's Hotel: a hotel with infinitely many rooms, all full, always has room
Cantor نے 1874 میں ثابت کیا کہ تمام infinities برابر نہیں ہوتیں۔ قدرتی اعداد، صحیح اعداد اور rational numbers countably infinite ہیں: انہیں فہرست میں رکھا جا سکتا ہے۔ real numbers uncountably infinite ہیں: diagonal argument ثابت کرتا ہے کہ ان کی مکمل فہرست ممکن نہیں۔ Cantor کا theorem یہ بھی دکھاتا ہے کہ کسی بھی set کا power set اس set سے سختی سے بڑا ہوتا ہے، اور یوں infinities کی ایک نہ ختم ہونے والی hierarchy بنتی ہے۔ Continuum Hypothesis — کہ integers اور reals کے درمیان کوئی درمیانی infinity نہیں — جدید منطق میں ایک بنیادی سوال بنی رہی۔
Used in
∑Mathematics
✓
⚛Physics
✓
⚙Engineering
–
🧬Biology
–
💻Computer Sci
✓
📊Statistics
–
📈Finance
–
🎨Art
–
🏛Architecture
–
♪Music
–
🔐Cryptography
–
🌌Astronomy
–
⚗Chemistry
–
🦉Philosophy
✓
🗺Geography
–
🌿Ecology
–
Want to test your knowledge?
Question
کینٹر نے حقیقی اعداد کی ناشمار پذیریت کیسے ثابت کی؟