حسابان کا بنیادی قضیہ دو بظاہر الگ تصورات کو جوڑتا ہے۔ حصہ 1: اگر آپ کسی مقررہ نقطے سے x تک ایک فنکشن کا تکمل لیں، تو اس تکمل کی مشتق وہی اصل فنکشن بن جاتی ہے۔ حصہ 2: f کا a سے b تک قطعی تکمل کسی بھی antiderivative F کی قیمت F(b) - F(a) کے برابر ہوتا ہے۔
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667. The antiderivative F(x) = x³/3 gives the exact area without approximation.
اس قضیے سے پہلے رقبے معلوم کرنے کے لیے Riemann sums درکار ہوتے تھے: علاقے کو باریک مستطیلوں میں بانٹنا، سب کو جمع کرنا، اور پھر حد لینا۔ FTC اس سب کی جگہ صرف ایک تفریق سے کام لے لیتا ہے۔ نیوٹن نے 1666 تک اس تعلق کو سمجھ لیا تھا اور لائبنز نے 1675 میں آزادانہ طور پر۔ ان کی ترجیح کی لڑائی نے ایک نسل تک یورپی اور برطانوی ریاضی کو تقسیم کیے رکھا۔
حسابان کے ہر درسی تکمل میں حصہ 2 استعمال ہوتا ہے: antiderivative تلاش کریں، endpoints پر اس کی قیمت نکالیں، پھر تفریق کر دیں۔ یہ اس لیے کام کرتا ہے کہ تفاضل اور تکمل ایک دوسرے کے بالکل الٹ عمل ہیں۔ یہ پورے ریاضی کے گہرے ترین اور مفید ترین نتائج میں سے ایک ہے۔
A Riemann sum with 8 rectangles gives ≈ 0.273. The exact answer is 8/3 ≈ 2.667. The Fundamental Theorem gives exact results with no rectangles needed.
a سے b تک displacement پر متغیر قوت F(x) کا کیا گیا کام W = integral_a^b F(x) dx = P(b) - P(a) ہوتا ہے، جہاں P potential energy function ہے اور P' = -F پوری کرتی ہے۔ velocity کو تکمل دینے سے displacement ملتا ہے، اور force کو تکمل دینے سے impulse۔ FTC ہی ان حسابات کو قابلِ عمل بناتا ہے، ورنہ لامتناہی Riemann sums درکار ہوتے۔