ہرمونک سلسلہ تمام unit fractions کا مجموعہ ہے۔ ہر جز 1/n صفر کی طرف جاتا ہے، اس لیے پہلی نظر میں لگ سکتا ہے کہ مجموعہ converge کرے گا، مگر ایسا نہیں ہوتا۔ ثبوت grouping سے ملتا ہے: 1/3+1/4 > 1/2، پھر 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2، اور اس طرح ہر نئی گروہ بندی کم از کم 1/2 کا اضافہ کرتی ہے، لہٰذا کل مجموعہ کسی بھی حد سے آگے نکل جاتا ہے۔ لیکن یہ غیر معمولی سستی سے diverge کرتا ہے: جزوی مجموعہ 100 تک پہنچانے کے لیے observable universe میں ایٹموں سے بھی زیادہ terms چاہییں۔
H(n) اور ln(n) ایک ساتھ بڑھتے ہیں اور ان کا فرق تقریباً γ ≈ 0.5772 رہتا ہے۔ دونوں diverge کرتے ہیں: H(n)=100 تک پہنچنے کے لیے تقریباً 10^43 terms چاہییں۔
H(n)=100 تک پہنچنے کے لیے تقریباً 10^43 terms درکار ہیں۔ یہ observable universe میں ایٹموں سے بھی زیادہ ہیں۔
ہرمونک سلسلہ 1 + 1/2 + 1/3 + ... diverge کرتا ہے؛ اس حقیقت کا واضح ثبوت تقریباً 1350 میں Nicole Oresme نے دیا۔ اگرچہ ہر جز صفر کی طرف جاتا ہے، مجموعہ پھر بھی کسی بھی حد سے بڑھ جاتا ہے۔ جزوی مجموعے تقریباً ln(n) + γ کی طرح بڑھتے ہیں، جہاں γ ≈ 0.5772 اویلر-ماسکرونی مستقل ہے۔ دس لاکھ terms کے بعد بھی مجموعہ صرف تقریباً 14 ہوتا ہے، اور 100 تک پہنچنے کے لیے 10^43 سے زیادہ terms درکار ہیں۔ اس کا alternating روپ 1 - 1/2 + 1/3 - ... بالکل ln 2 پر converge کرتا ہے۔