ζ(3) ریمان زیٹا فنکشن کی s = 3 پر قیمت ہے: یعنی تمام مثبت صحیح اعداد پر 1/n³ کی مجموعہ۔ زوجی اقدار کے لیے اولر نے خوب صورت بند فارم دیے: ζ(2) = π²/6، ζ(4) = π⁴/90، ζ(6) = π⁶/945۔ لیکن طاق اقدار کے لیے ایسی کوئی معلوم فارمولا نہیں۔ یہ بھی نامعلوم ہے کہ ζ(3) میں π کسی بنیادی طور پر شامل ہے یا نہیں۔
z(3) sits between two values with known closed forms involving pi. Whether z(3) involves pi is still unknown.
1978 میں راجر اپیری نے اعلان کیا کہ اس کے پاس ζ(3) کی غیر ناطقیت کا ثبوت ہے۔ سامعین شکی تھے۔ ہنری کوہن اور دوسرے ریاضی دان راتوں رات گھر جا کر کمپیوٹر پر اس کی جانچ میں لگ گئے۔ اگلی صبح تک یہ واضح ہو گیا کہ ثبوت درست ہے۔ ایک شریک کے الفاظ میں، "یہ صاف آسمان میں گرج کی طرح تھا۔" اس وقت اپیری کی عمر 64 سال تھی۔
The partial sums 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... approach ζ(3) ≈ 1.20206 from below. Convergence is slow: even at n=50 the sum is still 0.003 away.
یہ سوال کہ آیا ζ(3) کو π کی مدد سے ظاہر کیا جا سکتا ہے، ابھی تک کھلا ہے۔ تمام زوجی زیٹا اقدار متعلقہ π کی طاقت کے ناطق ضربی عدد ہوتی ہیں، مگر طاق زیٹا اقدار گویا ایک الگ ہی دنیا میں رہتی ہیں۔ یہ معلوم ہے کہ لامتناہی طور پر بہت سی طاق اقدار ζ(2n+1) غیر ناطق ہیں (ریووآل، 2000)، لیکن مکمل نمونہ اب بھی معمہ ہے۔ مکمل قیمت: 1.20205690315959428539973816151144999…
تمام زوجی k کے لیے ζ(2k) = ناطق عدد × π^(2k)۔ اولر نے یہ تمام زوجی اقدار کے لیے ثابت کیا۔ لیکن ζ(3)، ζ(5)، ζ(7)… بالکل مختلف ہیں۔ ζ(3) غیر ناطق ہے، مگر π کے ساتھ کوئی رشتہ معلوم نہیں۔ ممکن ہے یہ واقعی π سے آزاد ہو۔
Table showing zeta at even integers known as pi fractions but odd integers unknown
| Gerade s: exakte Formeln | Ungerade s: Rätsel |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1,20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1,03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unbekannt |
| Alle = rational × π^s | Keine bekannte π-Verbindung |
نامعلوم۔ راجر اپیری نے 1978 میں zeta(3) کی غیر ناطقیت ثابت کی، لیکن یہ فوقِ جبری ہے یا نہیں، یہ اب بھی کھلا مسئلہ ہے۔ عام طور پر یہی سمجھا جاتا ہے کہ یہ فوقِ جبری ہے، مگر ابھی کوئی ثبوت موجود نہیں۔
کوانٹم برقی حرکیات میں، خاص طور پر الیکٹرون کے مقناطیسی مومنٹ کی تصحیحات میں، random matrix theory میں، اور دو بعدی Ising model کی entropy میں۔ یہ شماریاتی میکانیات کی Fermi–Dirac اور Bose–Einstein توزیعات میں بھی ظاہر ہوتا ہے۔
رامانوجن نے zeta(3) کے لیے تیزی سے متقارب سلسلے دریافت کیے، جن میں 7π^3/180 اور exponentials پر مبنی مجموعات شامل ہیں۔ ان کی نوٹ بکس میں zeta(3) سے متعلق درجنوں شناختیں تھیں جن میں سے اکثر ان کی وفات کے کئی عشروں بعد ثابت ہوئیں۔
یہ صحیح اعداد A(n) = sum C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 ہیں جو اپیری کے غیر ناطقیت والے ثبوت میں آتے ہیں۔ ابتدائی چند اعداد 1، 5، 73، 1445، 33001 ہیں۔ یہ ایک recurrence relation پوری کرتے ہیں اور ان کی نمو اس انداز کی ہوتی ہے کہ 1/n^3 کی جزوی مجموعات کے مخرج میں مخصوص عوامل منسوخ ہوتے ہیں، اور یہی حد کو غیر ناطق بناتا ہے۔
اپیری مستقل ζ(3) = 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959 ہے۔ s کی زوجی اقدار کے لیے اولر نے π کے ساتھ بند فارم دیے، مثلاً ζ(2) = π^2/6 اور ζ(4) = π^4/90۔ طاق اقدار کے لیے ایسی کوئی فارمولا معلوم نہیں۔ راجر اپیری نے 1978 میں 64 برس کی عمر میں ζ(3) کی غیر ناطقیت ثابت کی۔ یہ فوقِ جبری ہے یا π کی صورت میں ظاہر ہو سکتی ہے یا نہیں، ابھی نامعلوم ہے۔