پائی کسی بھی دائرے کے circumference اور diameter کا ratio ہے۔ دائرہ چاہے جتنا بڑا یا چھوٹا ہو، یہ ratio ہمیشہ ایک ہی رہتا ہے: π = 3.14159265358979... اس کی تعریف geometry سے آتی ہے، مگر π physics، probability، engineering اور ریاضی کی تقریباً ہر شاخ میں ظاہر ہوتا ہے۔
π کو دو integers کے fraction کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا (Johann Heinrich Lambert، 1761)۔ یہ transcendental بھی ہے: یعنی ایسا عدد نہیں جو integer coefficients والے کسی polynomial کا حل ہو (Ferdinand von Lindemann، 1882)۔ اسی وجہ سے صرف compass اور straightedge سے circle کو square کرنا ناممکن ہے۔ اس کی decimal expansion کبھی ختم نہیں ہوتی اور نہ repeat کرتی ہے۔
Archimedes of Syracuse (تقریباً 250 قبل مسیح) پہلے ریاضی دان تھے جنہوں نے π کو سخت حدود کے درمیان رکھا، اور دکھایا کہ یہ 3+10/71 اور 3+1/7 کے درمیان ہے، inscribed اور circumscribed polygons کے ذریعے۔ Babylonians نے 3.125 اور Egyptians نے 3.1605 استعمال کیا۔ علامت π کو 1706 میں William Jones نے متعارف کروایا اور Euler نے اسے عام کیا۔ 2024 تک π کو 100 trillion سے زیادہ decimal digits تک compute کیا جا چکا ہے۔
π صرف circles میں نہیں آتا: normal distribution میں √(2π)، Euler’s identity e^(iπ)+1=0 میں، دو random integers کے coprime ہونے کے probability formula 6/π² میں، Stirling approximation n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ میں، quantum mechanics میں، اور sphere کے volume 4πr³/3 کے formula میں بھی یہی constant ظاہر ہوتا ہے۔
π ≈ 3.14159265358979323846۔ irrational (Lambert، 1761)۔ transcendental (Lindemann، 1882)۔ Pi Day، امریکی تاریخ کے format کے مطابق 14 مارچ (3/14) کو منایا جاتا ہے۔ fraction 22/7، π سے تقریباً 0.04% زیادہ ہے، جبکہ 355/113 چھ decimal places تک درست approximation دیتا ہے۔ کیا π normal number ہے — یعنی ہر digit sequence یکساں frequency سے آتی ہے؟ یہ ابھی ثابت نہیں، مگر بہت سے ریاضی دان اسے درست سمجھتے ہیں۔
Archimedes نے inscribed اور circumscribed polygons کے ذریعے π کو سخت حدود میں باندھا۔
پائی is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the leibniz formula.