سٹرلنگ کی approximation کہتی ہے کہ بڑے n کے لیے n! تقریباً √(2πn) · (n/e)ⁿ کے برابر ہوتا ہے۔ counting کی ایک formula میں π اور e دونوں کا ظاہر ہونا بہت حیران کن ہے۔ n = 10 پر خطا 1٪ سے کم ہے، جبکہ n = 100 پر 0.1٪ سے بھی کم۔ n جتنا بڑا ہوگا، formula اتنا ہی زیادہ درست ہوتا جائے گا۔
The relative error |n! − Stirling(n)| / n! falls below 1% at n = 8 and below 0.1% at n = 80. For large n, Stirling is essentially exact.
Abraham de Moivre نے 1730 میں پایا کہ n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ کسی constant C کے لیے درست ہے۔ اسی سال James Stirling نے شناخت کیا کہ C = √(2π) ہے۔ √(2π) دراصل Gaussian integral سے آتا ہے: Stirling کو Gamma function کے ذریعے اخذ کرنے پر ∫e^(-t²)dt = √π ظاہر ہوتا ہے، اور یوں π formula میں داخل ہوتی ہے۔
اس کی logarithmic form طبیعیات میں ہر جگہ استعمال ہوتی ہے۔ statistical mechanics میں Boltzmann کی entropy formula S = k·ln(W) کو بہت بڑے N کے لیے ln(N!) چاہیے ہوتا ہے۔ Stirling ہمیں ln(N!) ≈ N·ln(N) − N دیتی ہے، جس سے حساب ممکن ہو جاتا ہے۔ زیادہ مکمل asymptotic series correction terms بھی دیتی ہے: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) − 1/(360n³) + ⋯)
On a log scale, n! and Stirlings approximation are visually identical. Relative error approaches 0 as n grows.