ریمن زیٹا فنکشن ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ ہے۔ Euler نے اس کے حقیقی روپ کا مطالعہ کیا اور ζ(2) = π²/6 (بازل مسئلہ) اور product formula ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) تمام primes پر دریافت کی۔ Riemann نے 1859 کے اپنے مشہور مقالے میں اس فنکشن کو complex numbers تک بڑھایا۔
Table of zeta function values at even integers
| s | ζ(s) | exact form |
|---|---|---|
| 2 | 1,64493… | π²/6 |
| 3 | 1,20206… | unbekannt, Apéry |
| 4 | 1,08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1,01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | triviale Nullstellen |
Riemann کی بنیادی بصیرت یہ تھی کہ ζ(s) کو complex s تک بڑھانے پر non-trivial zeros—یعنی وہ zeros جہاں 0 < Re(s) < 1 ہو—اولی اعداد کی تقسیم کو کنٹرول کرتے ہیں۔ ہر zero prime-counting function میں ایک oscillation ڈالتا ہے۔ Riemann نے 1859 میں قیاس کیا کہ تمام non-trivial zeros خط Re(s) = 1/2 پر واقع ہوتے ہیں۔ یہی Riemann Hypothesis ہے۔
10 trillion سے زیادہ non-trivial zeros کے بارے میں یہ چیک کیا جا چکا ہے کہ وہ Re(s) = 1/2 پر ہی ہیں۔ آج تک کوئی counterexample نہیں ملا۔ Clay Mathematics Institute اس کے ثبوت یا تردید پر 1 ملین ڈالر کا انعام دیتا ہے۔ اگر یہ ثابت ہو جائے تو اولی اعداد کی تقسیم میں خطا کی بہترین ممکنہ حد مل جائے گی۔ Riemann Hypothesis 165 سال سے غیر ثابت ہے۔
ریمن زیٹا فنکشن ایک symmetry پوری کرتی ہے: zeta(s) = 2^s · pi^(s−1) · sin(pi·s/2) · Gamma(1−s) · zeta(1−s)۔ یہی مساوات zeta کو تمام complex اعداد تک بڑھاتی ہے (سوائے s = 1 کے) اور s پر قدر کو 1−s پر قدر سے جوڑتی ہے۔ اس سے معلوم ہوتا ہے کہ non-trivial zeros جوڑوں میں آتے ہیں: اگر s zero ہے تو 1−s بھی zero ہے۔ s = −2, −4, −6, … والے trivial zeros sin(pi·s/2) کے عامل سے پیدا ہوتے ہیں۔
ریمن زیٹا فنکشن zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... ہے۔ Euler نے زوجی صحیح اعداد پر اس کی exact values حاصل کیں: zeta(2) = pi^2/6، zeta(4) = pi^4/90۔ Riemann نے 1859 میں اسے complex s تک بڑھایا اور قیاس کیا کہ تمام non-trivial zeros Re(s) = 1/2 پر ہوتے ہیں۔ یہ Riemann Hypothesis 165 سال بعد بھی غیر ثابت ہے اور Clay Millennium Prize کا ایک مسئلہ ہے۔ 10 trillion سے زیادہ zeros critical line پر verify کیے جا چکے ہیں۔ یہی zeros primes کی تقسیم کو کنٹرول کرتے ہیں۔