ریاضیات نے پانچ بڑے number systems تعمیر کیے ہیں، اور ہر نیا system پچھلے کی توسیع ہے۔ ہر توسیع کی وجہ ایک ایسا سوال تھا جس کا پہلے جواب نہیں تھا: “3−5 کیا ہے؟” نے integers کو جنم دیا؛ “1/3 کیا ہے؟” نے rationals کو؛ “√2 کیا ہے؟” نے reals کو؛ اور “√(-1) کیا ہے؟” نے complex numbers کو ضروری بنا دیا۔
ہر نئی توسیع سے کچھ طاقت حاصل ہوئی اور intuition یا ساخت کا کچھ حصہ بدلا۔
| نظام | کیا حاصل ہوا | کیا کھویا یا بدلا |
|---|---|---|
| N, natürliche Zahlen | Zählen, +, × | keine Subtraktion |
| Z, ganze Zahlen | Subtraktion, Negative | keine Division |
| Q, rationale Zahlen | Division, Brüche | kein √2 |
| R, reelle Zahlen | alle Grenzwerte, √2, π | kein √(-1) |
| C, komplexe Zahlen | alle Polynomnullstellen | algebraisch abgeschlossen |
| H, Quaternionen | Drehungen im 3D-Raum | ab ist nicht gleich ba |
| Jede Erweiterung ist eine echte Vergrößerung, keine bloße Umbenennung |
number line پر کچھ systems دوسرے کے اندر نظر آتے ہیں، مگر complex numbers کے لیے پوری plane درکار ہوتی ہے۔
ریاضیات کے پانچ بنیادی number systems ہیں: natural numbers N (گنتی)، integers Z (منفی اعداد اور subtraction)، rationals Q (division)، reals R (limits اور irrational numbers)، اور complex numbers C (√−1)۔ ہر توسیع نے ایسی equation کو حل کیا جو پچھلے system میں ناممکن تھی۔ complex numbers algebraically closed ہیں: ہر polynomial equation کا حل C کے اندر موجود ہوتا ہے۔ شمولیت سخت ہے: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C۔