غیر ناطق اعداد کیا ہیں؟

p/q کی صورت نہیں بنتی

کچھ اعداد کو fraction کے طور پر لکھا ہی نہیں جا سکتا

کوئی عدد irrational تب ہوتا ہے جب اسے p/q کی صورت میں نہ لکھا جا سکے، جہاں p اور q دونوں integers ہوں۔ اس کی decimal expansion کبھی ختم نہیں ہوتی اور کبھی repeat نہیں کرتی۔ √2، π، e اور φ سب irrational ہیں۔ یہ کوئی نایاب استثنا نہیں بلکہ حقیقت یہ ہے کہ اکثر real numbers irrational ہی ہوتے ہیں۔

Rational and irrational numbers on the number line

number line پر rational اور irrational دونوں اعداد موجود ہیں، مگر irrational اعداد کی کثرت کہیں زیادہ ہے۔

Geometric proof: √2 is irrational

Unit square diagonal = √2. Assume √2 = p/q (lowest terms).

پھر 2 = p²/q²، لہٰذا p² = 2q² — p² even ہے، اس لیے p بھی even ہے۔ لکھیں p = 2k۔

تب 4k² = 2q²، لہٰذا q² = 2k² — q بھی even ہو جاتا ہے۔ یہ اس مفروضے کے خلاف ہے کہ p/q lowest terms میں تھا۔ ∎

Decimal expansions: how to spot the difference

rational اعداد کی decimal expansion ختم ہوتی ہے یا repeat کرتی ہے؛ irrational اعداد کی نہیں۔

ناطق: ختم ہو یا repeat ہو	غیر ناطق: کبھی repeat نہ ہو
1/4 = 0,25000...	√2 = 1,4142135...
endet	kein Muster, niemals
1/3 = 0,3333...	π = 3,1415926...
periodischer Block: {3}	kein Muster, niemals
22/7 = 3,142857...	e = 2,7182818...
periodischer Block: {142857}	kein Muster, niemals
5/11 = 0,454545...	φ = 1,6180339...
periodischer Block: {45}	kein Muster, niemals

How many irrationals are there compared to rationals?

Cantor کے مطابق rational numbers countable ہیں، مگر irrationals uncountable۔ اس لیے زیادہ تر real numbers irrational ہیں۔

دو کا جذر پائی ماورائی اعداد عددی نظام

متعلقہ موضوعات

ماورائی اعداد √2 continued fractions

غیر ناطق اعداد کے اہم حقائق

irrational عدد کو integers p اور q کے ساتھ p/q کی صورت میں نہیں لکھا جا سکتا۔ اس کی decimal expansion نہ ختم ہوتی ہے اور نہ repeat کرتی ہے۔ تقریباً 500 قبل مسیح Pythagoreans نے √2 کے irrational ہونے کا ثبوت دیا، جو اس دور میں ایک حیران کن دریافت تھی۔ π کے irrational ہونے کا ثبوت Lambert نے 1761 میں اور e کے لیے Euler نے 1737 میں دیا۔ اکثر real numbers irrational ہوتے ہیں: rational numbers countable ہیں جبکہ irrationals uncountable، اس لیے کسی random real number کے irrational ہونے کا امکان غالب ہے۔

Used in

∑Mathematics

✓

⚛Physics

–

⚙Engineering

–

🧬Biology

–

💻Computer Sci

✓

📊Statistics

–

📈Finance

–

🎨Art

–

🏛Architecture

–

♪Music

–

🔐Cryptography

–

🌌Astronomy

–

⚗Chemistry

–

🦉Philosophy

✓

🗺Geography

–

🌿Ecology

–

Want to test your knowledge?

Question

کیا sqrt(4) غیر ناطق ہے؟

tap · space

1 / 10