تمام divisors (خود n سمیت) کا مجموعہ عدد کے دو گنا کے برابر ہو
کامل عدد وہ ہے جو اپنے تمام proper divisors، یعنی خود کے علاوہ تمام divisors، کے مجموعے کے برابر ہو۔ 6 = 1+2+3 اور 28 = 1+2+4+7+14۔ یہ اعداد نہایت نایاب ہیں: صرف 51 معلوم ہیں، سب even ہیں، اور ان کا سائز بہت تیزی سے بڑھتا ہے۔ کیا کوئی odd perfect number موجود ہے؟ یہ اب بھی ریاضیات کے قدیم ترین کھلے مسائل میں سے ایک ہے۔
The first four perfect numbers: divisor portraits
Euclid–Euler theorem: even perfect numbers ↔ Mersenne primes
n is even perfect ⟺ n = 2^(p−1) · (2^p − 1)
جہاں 2^p − 1 ایک Mersenne prime ہو
Euclid نے → سمت ثابت کی، Euler نے ← سمت۔ معلوم تمام 51 perfect numbers even ہیں اور اسی formula سے آتے ہیں۔ odd perfect number کا وجود نامعلوم ہے۔
Perfect numbers on a log scale: they grow faster than exponentially
کامل اعداد بہت تیزی سے بڑے ہوتے ہیں؛ اسی لیے معلوم مثالیں بہت کم ہیں۔
کامل عدد اپنے proper divisors کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے: 6 = 1+2+3، 28 = 1+2+4+7+14۔ Euclid نے ثابت کیا کہ جب بھی 2^p−1 ایک Mersenne prime ہو تو 2^(p−1)(2^p−1) کامل ہوتا ہے۔ Euler نے converse بھی ثابت کیا: ہر even perfect number اسی شکل کا ہوتا ہے۔ odd perfect number کا وجود آج تک نامعلوم ہے اور کوئی مثال کبھی نہیں ملی۔ معلوم تمام 51 perfect numbers even ہیں اور 51 معروف Mersenne primes کے مطابق آتے ہیں۔