√2، unit square کی diagonal کی لمبائی ہے۔ اگر ایک مربع کی ہر side کی لمبائی 1 ہو تو ایک کونے سے مخالف کونے تک فاصلہ بالکل √2 ہوتا ہے۔ یہ براہِ راست فیثاغورث کے قضیے سے آتا ہے: 1² + 1² = (√2)²۔
Pythagoreans نے تقریباً 500 قبل مسیح دریافت کیا کہ √2 کو کسی کسر p/q کی صورت میں، جہاں p اور q صحیح اعداد ہوں، نہیں لکھا جا سکتا۔ ثبوتِ تناقض نہایت خوبصورت ہے: فرض کریں √2 = p/q ہو اور کسر lowest terms میں ہو۔ پھر 2q² = p²، اس سے p² زوجی ہوا، لہٰذا p زوجی ہے، یعنی p = 2k۔ اب 2q² = 4k² سے q² = 2k² ملتا ہے، لہٰذا q بھی زوجی ہے۔ مگر پھر p/q lowest terms میں نہ رہی—تناقض۔ اس لیے √2 irrational ہے۔
یہ continued fraction [1; 2, 2, 2, …] کے convergents ہیں۔ ہر کسر اپنے denominator کے لیے بہترین rational approximation دیتی ہے۔
Convergents of square root of 2 from continued fraction
| کسر | اعشاری قدر | خطا |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 algebraic ہے کیونکہ یہ x² = 2 کو پورا کرتا ہے، مگر irrational ہے۔ trigonometry میں sin(45°) = cos(45°) = 1/√2۔ A-paper series (A4، A3، A2…) ratio 1:√2 استعمال کرتی ہے، تاکہ کاغذ کو آدھا کرنے پر بھی proportions وہی رہیں۔ مکمل قدر: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
2 کا جذر تقریباً 1.41421356237309504880 ہے۔ یہ پہلا عدد تھا جس کی irrationality قدیم یونانیوں نے تقریباً 500 قبل مسیح میں ثابت کی۔ یہ algebraic ہے اور x² = 2 کو پورا کرتا ہے۔ یہ unit square کی diagonal کے طور پر ظاہر ہوتا ہے، equal-temperament music tuning میں، A-series paper dimensions میں، اور ہر اس قائم الزاویہ مثلث میں جہاں دونوں قائم اضلاع برابر ہوں۔
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the continued fraction.