سلور نسبت δₛ = 1 + √2 ≈ 2.41421، مساوات x² = 2x + 1 کا مثبت حل ہے۔ یہ metallic means family کا دوسرا اہم رکن ہے: golden ratio کے لیے x² = x + 1 ہوتا ہے، جبکہ silver ratio کے لیے x² = 2x + 1۔ اسی فرق کی وجہ سے اس کی continued fraction [2; 2, 2, 2, …] بنتی ہے۔
Pell numbers 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408… recurrence Pₙ = 2Pₙ₋₁ + Pₙ₋₂ سے بنتے ہیں، اور ان کے ratios δₛ کی طرف جاتے ہیں، بالکل جیسے Fibonacci ratios φ کی طرف جاتے ہیں۔ سلور نسبت regular octagon میں ظاہر ہوتی ہے: diagonal اور side کا ratio δₛ کے برابر ہوتا ہے۔ یہ Ammann–Beenker quasiperiodic tilings میں بھی ملتی ہے۔
The red diagonal connects vertices 3 apart (skipping 2). The green side is one edge. Their ratio is exactly 1 + √2 ≈ 2.414, the silver ratio. This is the octagon equivalent of the golden ratio diagonal in a pentagon.
سلور نسبت میں self-similarity بھی ہے: δₛ = 2 + 1/δₛ = 2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + …)))۔ اگر δₛ × 1 مستطیل سے دو unit squares ہٹا دیے جائیں تو بچا ہوا مستطیل انہی proportions کا رہتا ہے۔ A-paper series میں √2 (یعنی δₛ − 1) استعمال ہوتا ہے تاکہ کاغذ کو آدھا کرنے پر بھی aspect ratio برقرار رہے۔ قدر: 2.41421356237309504880168872…
A0, A1, A2… each sheet is half the previous. The ratio 1:√2 is the only ratio that survives halving. Fold a 1:√2 sheet: you get a √2:1 sheet, the same proportions rotated. √2 = δₛ - 1, linking the paper series directly to the silver ratio.