کوئی عدد transcendental تب ہوتا ہے جب وہ integer coefficients والی کسی polynomial equation کا root نہ ہو۔ π ایسی کسی equation، مثلاً x^2 − 3x + 1 = 0، کا root نہیں ہے۔ e بھی ایسی کسی equation کو پورا نہیں کرتا۔ یہ algebra کی پہنچ سے باہر ہیں۔ اگرچہ ان کے نام لینا کم ہوتا ہے، مگر حقیقت یہ ہے کہ تقریباً ہر حقیقی عدد transcendental ہوتا ہے۔
Every rational number is algebraic. Every algebraic number is real. But the transcendentals, the numbers outside the algebraic ring, are vastly more numerous than all algebraic numbers combined.
From Liouville's artificial construction (1844) to the Gelfond-Schneider theorem (1934), transcendence theory grew from curiosity to a major branch of number theory.
Table showing algebraic numbers with their minimal polynomials versus transcendental numbers with no such polynomial
| عدد | minimal polynomial |
|---|---|
| √2 = 1,41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1,61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1,70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3,14159... | kein Polynom existiert |
| e = 2,71828... | kein Polynom existiert |
| e^π = 23,1406... | kein Polynom existiert |
کوئی عدد transcendental تب ہوتا ہے جب وہ integer coefficients والی کسی polynomial equation کو پورا نہ کرے۔ Liouville نے 1844 میں پہلی صریح مثال دی۔ Hermite نے 1873 میں ثابت کیا کہ e transcendental ہے۔ Lindemann نے 1882 میں π کے transcendental ہونے کا ثبوت دیا، اور اسی سے squaring the circle کا قدیم مسئلہ ناممکن ثابت ہوا۔ Gelfond–Schneider theorem (1934) کہتی ہے کہ اگر a algebraic ہو مگر 0 یا 1 نہ ہو، اور b algebraic مگر irrational ہو، تو a^b transcendental ہوتا ہے۔ باوجود اس کے کہ تقریباً ہر حقیقی عدد transcendental ہے، کسی خاص عدد کے بارے میں یہ ثابت کرنا اب بھی بہت مشکل ہے۔