φ (phi) equation x² = x + 1 کا مثبت حل ہے۔ اس equation کا ایک geometric مطلب بھی ہے: اگر ایک line segment کو اس طرح تقسیم کیا جائے کہ پورے segment کا بڑے حصے سے ratio وہی ہو جو بڑے حصے کا چھوٹے حصے سے ratio ہو، تو یہی ratio φ ہوتا ہے۔ کسی اور عدد میں یہ self-similar خاصیت نہیں ملتی۔
مسلسل Fibonacci ratios تیزی سے φ کے قریب آتے ہیں۔
| Fibonacci جوڑا | ratio | φ سے فرق |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1,000 | 0,618 |
| 2, 3 | 1,500 | 0,118 |
| 8, 13 | 1,625 | 0,007 |
| 55, 89 | 1,61818… | 0,00015 |
| → ∞ | 1,61803… | 0 |
سنہری نسبت regular pentagon اور pentagram میں ظاہر ہوتی ہے، جہاں diagonals ایک دوسرے کو golden ratio میں تقسیم کرتی ہیں۔ ہر Fibonacci number کو اپنے پچھلے Fibonacci number سے divide کریں تو ratios φ کی طرف جاتے ہیں۔ continued fraction [1; 1, 1, 1, …] سب سے سادہ infinite continued fraction ہے، اور یہی φ کو fractions سے قریب لانا غیر معمولی طور پر مشکل بناتا ہے۔ اسی لیے اسے “most irrational number” کہا جاتا ہے۔
golden rectangles اور quarter-circle arcs سے بننے والی مشہور golden spiral۔
φ equation φ² = φ + 1 کو پورا کرتا ہے، اس لیے φ = 1 + 1/φ بھی بنتا ہے۔ بار بار یہی substitution کرنے سے φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)) ملتا ہے۔ تمام 1s پر مشتمل یہی infinite continued fraction اس کی تعریف بھی ہے اور اس کے “most irrational” ہونے کی وجہ بھی۔ مکمل قدر 1.61803398874989484820… ہے۔
regular pentagon کی diagonals، side اور diagonal کے درمیان golden ratio بناتی ہیں۔
سنہری نسبت φ تقریباً 1.61803398874989484820 ہے۔ یہ x² = x + 1 کا مثبت حل ہے۔ φ irrational اور algebraic ہے، اور مسلسل Fibonacci numbers کے ratios کی limit بنتی ہے۔ یہ regular pentagon، icosahedron، سورج مکھی کے بیجوں کی spirals اور قدیم یونان سے زیرِ مطالعہ proportions میں ظاہر ہوتی ہے۔ continued fraction [1; 1, 1, 1, ...] اسے fractions سے قریب لانا سب سے مشکل بناتا ہے، اسی لیے phyllotaxis میں golden angle استعمال ہوتا ہے۔
سنہری نسبت φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the quadratic formula.