ہارمونک سلسلہ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ diverge کرتا ہے، مگر بہت ہی آہستہ بڑھتا ہے۔ دس لاکھ اجزاء کے بعد بھی یہ بمشکل 14 تک پہنچتا ہے۔ قدرتی لوگرتھم ln(n) بھی اسی رفتار سے بڑھتا ہے۔ اولر-ماسکیرونی مستقل γ ان دونوں کے درمیان ٹھیک فرق ہے: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n)۔
The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n → ∞. Convergence is very slow — the gap is still 0.001 at n = 1000.
γ تجزیہ اور عددی نظریے میں بار بار ظاہر ہوتا ہے۔ یہ ہارمونک سلسلے کو ریمان زیٹا فنکشن سے جوڑتا ہے: رسمی معنی میں γ = -ζ'(1)۔ یہ Gamma function میں Γ'(1) = -γ کے طور پر آتا ہے، prime gaps کی تقسیم، Bessel functions، اور digamma function کی asymptotic expansion میں بھی موجود ہے۔
γ ناطق ہے یا غیر ناطق، یہ ریاضی کے قدیم ترین کھلے مسائل میں سے ایک ہے۔ تقریباً ہر ریاضی دان سمجھتا ہے کہ یہ فوقِ جبری ہے، مگر کوئی ثبوت موجود نہیں۔ اسے 600 ارب سے زیادہ اعشاری مقامات تک نکالا جا چکا ہے: 0.57721566490153286060651209008240243…
The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) → γ.
اولر-ماسکیرونی مستقل γ تقریباً 0.57721566490153286060 ہے۔ یہ ناطق ہے یا غیر ناطق، یہ ابھی نامعلوم ہے اور ریاضی کے مشہور ترین کھلے مسائل میں شامل ہے۔ اولر نے اسے 1734 میں شائع کیا؛ ماسکیرونی نے 1790 میں اسے آزادانہ طور پر نکالا۔ γ Gamma function، ریمان زیٹا فنکشن، prime products کے Mertens theorem، Bessel functions، اور prime gaps کی تقسیم میں ظاہر ہوتا ہے۔ چونکہ اس کے لیے کوئی streaming algorithm موجود نہیں، اس کے ہندسے پہلے سے compute کر کے محفوظ کیے جاتے ہیں۔
اولر-ماسکیرونی مستقل γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the ہارمونک-لوگرتھمی حد.