مسلسل کسر کسی عدد کو ایک صحیح عدد اور پھر ایک اور مسلسل کسر کے معکوس کے مجموعے کے طور پر ظاہر کرتی ہے۔ ہر حقیقی عدد کی ایک منفرد مسلسل کسری توسیع ہوتی ہے۔ ناطق اعداد پر سلسلہ ختم ہو جاتا ہے، مربعی غیر ناطق اعداد میں دوری تکرار ہوتی ہے، جبکہ π جیسے فوقِ جبری اعداد میں کوئی سادہ نمونہ نہیں ہوتا۔ truncation سے بننے والی convergents ثابت شدہ طور پر اسی مخرج کے سائز والے تمام ناطق قریب ترین اندازوں میں بہترین ہوتی ہیں۔
Table comparing continued fractions of phi sqrt2 e and pi showing which are periodic and which are irregular
| KONSTANTE | KB-NOTATION | TYP |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodisch |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodisch |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodisch |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | Muster |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | kein Muster |
| Satz: Ein Kettenbruch ist genau dann periodisch, wenn die Zahl quadratisch irrational ist (Lagrange, 1770) | ||
| phi ist am schwersten zu approximieren: sein Kettenbruch aus lauter Einsen liefert die langsamste mögliche Konvergenz |
Table of convergents of pi showing increasingly accurate rational approximations with small denominators
| KONVERGENT | DEZIMAL | FEHLER |
|---|---|---|
| 3/1 | 3,000000 | 0,14159 |
| 22/7 | 3,142857 | 0,00126 |
| 333/106 | 3,141509 | 0,000083 |
| 355/113 | 3,141592… | 0,0000003 |
| 103993/33102 | 3,14159265… | 2,7e−10 |
| 355/113 ist mit einem nur dreistelligen Nenner auf 6 Dezimalstellen korrekt |
Convergents 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 alternate above and below π. Each is the best rational approximation with that denominator or smaller.
ہر حقیقی عدد کی ایک منفرد مسلسل کسری توسیع ہوتی ہے۔ ناطق اعداد کی توسیع محدود ہوتی ہے۔ مربعی غیر ناطق اعداد (جیسے √2 اور φ) کی توسیع آخرکار دوری تکرار اختیار کرتی ہے۔ π جیسے فوقِ جبری اعداد میں ایسا سادہ نمونہ نہیں ہوتا۔ مسلسل کسر کی convergents بہترین ناطق اندازے دیتی ہیں: 22/7 اور 355/113، π کی ایسی ہی convergents ہیں جو اسے بالترتیب 2 اور 6 اعشاری جگہوں تک درست دیتی ہیں۔ φ = [1; 1, 1, 1, ...] قریب لانا سب سے مشکل عدد ہے، اسی معنی میں یہ سب سے زیادہ غیر ناطق عدد ہے۔