ٹیلر سلسلہ کسی بھی smooth function کو ایک لامتناہی polynomial کے طور پر ظاہر کرتا ہے۔ ہر coefficient ایک derivative سے آتا ہے: nth term، f⁽ⁿ⁾(a)/n! ضرب (x-a)ⁿ ہوتا ہے۔ eˣ، sin(x) اور cos(x) جیسی well-behaved functions کے لیے یہ سلسلہ ہر جگہ اصل function value تک converge کرتا ہے۔
Each extra term extends the approximation further. Adding more terms: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
تین سب سے اہم Maclaurin series یہ ہیں: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (ہر جگہ converge کرتی ہے)؛ sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − ⋯ (ہر جگہ converge کرتی ہے)؛ cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − ⋯ (ہر جگہ converge کرتی ہے)۔ اگر eˣ کی series میں x = iπ رکھیں تو Euler کی شناخت حاصل ہوتی ہے۔
Table of Maclaurin series
| f(x) | سلسلہ | رداس |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor نے 1715 میں عمومی theorem بیان کی؛ 0 پر مرکز رکھنے والا خاص معاملہ Colin Maclaurin نے 1742 میں مقبول بنایا۔ ہر calculator اور computer transcendental functions کی value نکالنے کے لیے Taylor series استعمال کرتا ہے۔ n terms کے بعد خطا Lagrange remainder سے bound ہوتی ہے: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Each pair of terms is one more order of accuracy.
ٹیلر سلسلہ کسی smooth function کو ایک لامتناہی polynomial کی صورت میں لکھتا ہے: f(x) = f(a) + f′(a)(x-a) + f″(a)(x-a)^2/2! + ...۔ coefficients مرکز a پر derivatives ہوتے ہیں۔ Maclaurin series وہی ہیں جن کا مرکز 0 ہو۔ تین بنیادی series ہر جگہ converge کرتی ہیں: e^x = 1 + x + x^2/2! + ...، sin(x) = x − x^3/3! + x^5/5! − ...، اور cos(x) = 1 − x^2/2! + x^4/4! − ...۔ e^x کی series میں x = iπ رکھنے سے Euler’s identity ثابت ہو جاتی ہے۔ ہر calculator اندرونی طور پر Taylor series استعمال کرتا ہے۔