n تک تمام prime numbers کے reciprocals جمع کریں: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p۔ یہ مجموعہ بڑھتا تو ہے، مگر انتہائی آہستہ — تقریباً ln(ln(n)) کی رفتار سے۔ Meissel-Mertens constant M اسی مجموعے اور اس کے غالب term کے درمیان درست فرق ہے، بالکل اسی طرح جیسے Euler-Mascheroni constant γ harmonic series کے لیے فرق کو ناپتا ہے۔
Euler نے 1737 میں ثابت کیا کہ تمام prime reciprocals کا مجموعہ diverge کرتا ہے، مگر اس کی divergence harmonic series سے کہیں سست ہے۔ primes اتنے sparse ہوتے جاتے ہیں کہ ان کے reciprocals کا مجموعہ صرف log log n کی رفتار سے بڑھتا ہے۔ اسی معمولی مگر مستقل فرق کو M capture کرتا ہے۔
γ harmonic series کے لیے residual constant ہے، جبکہ M prime reciprocals کے لیے۔
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0,5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0,2615 |
| alle ganzen Zahlen | nur Primzahlen |
M اور γ کے درمیان تعلق بھی موجود ہے: M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p)۔ کیا M یا γ rational ہیں؟ یہ ابھی معلوم نہیں۔ M analytic number theory میں primes کی fine structure سمجھنے کے لیے اہم ہے، خاص طور پر اُن formulas میں جہاں prime reciprocals شامل ہوں۔
prime reciprocals diverge تو کرتے ہیں، مگر harmonic series کے مقابلے میں انتہائی آہستگی سے۔
جہاں harmonic sum Σ 1/n ≈ ln n + γ ہوتی ہے، وہیں prime reciprocal sum Σₚ≤ₙ 1/p ≈ ln ln n + M ہوتی ہے۔ دونوں constants ایک slow-growing divergent quantity اور اس کے dominant logarithmic term کے بیچ رہ جانے والے difference کو ماپتے ہیں۔ فرق یہ ہے کہ primes کی rarity کی وجہ سے یہاں growth ln n کے بجائے ln ln n رہ جاتی ہے۔
Meissel-Mertens constant M ≈ 0.261497 ہے۔ یہ prime reciprocals کے مجموعے Σₚ≤ₙ 1/p اور اس کے بنیادی term ln ln n کے درمیان limit difference ہے۔ Meissel اور Mertens نے 1874 میں اس constant کی صورت واضح کی۔ یہ Euler-Mascheroni constant γ کا prime-number analogue سمجھا جا سکتا ہے۔ prime reciprocals diverge کرتے ہیں، مگر اتنی سستی سے کہ n = 10^10 تک بھی مجموعہ صرف تقریباً 2.3 بنتا ہے۔