ڈی مواور کا قضیہ کہتا ہے کہ unit circle پر موجود کسی نقطے کو nth power تک اٹھانا صرف اس کے زاویے کو n سے ضرب دینے کے برابر ہے۔ اگر آپ θ زاویے سے شروع کریں اور یہی عمل n بار کریں، تو آپ nθ زاویے پر پہنچتے ہیں۔ یہی مرکب اعداد کی حسابی ہندسی روح ہے۔
Starting at angle θ=40° on the unit circle. Squaring doubles the angle to 80° (green). Cubing triples it to 120° (red). The point just rotates: its distance from the origin stays 1.
یہ قضیہ اولر کے فارمولے e^(iθ) = cosθ + i sinθ سے فوراً نکل آتا ہے۔ دونوں طرف nth power لینے سے: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ)۔ دلچسپ بات یہ ہے کہ ڈی مواور نے 1707 میں اپنا نتیجہ بیان کیا، یعنی اولر کے فارمولے کی اشاعت سے 41 سال پہلے؛ اسی لیے بعد کا ثبوت جادو جیسا لگتا ہے۔
The 6th roots of unity form a regular hexagon on the unit circle. The nth roots of z^n = 1 always form a regular n-gon, equally spaced at angles 2πk/n = τk/n.
ڈی مواور کا قضیہ مرکب اعداد کی قوتیں اور جذر نکالنے، multiple-angle فارمولے حاصل کرنے (مثلاً cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ)، اور کسی بھی مرکب عدد کے n برابر فاصلے والے nth roots تلاش کرنے کا بنیادی ذریعہ ہے۔ یہ مرکب الجبرا کو گردش کی ہندسیات سے جوڑتا ہے۔
When you multiply two complex numbers, their angles (arguments) add and their magnitudes multiply. If both numbers sit on the unit circle (magnitude 1), only the angles change. Multiplying n times adds the angle n times: that is De Moivre's theorem.
ڈی مواور کا قضیہ دکھاتا ہے کہ cos(nθ) کو ہمیشہ cos(θ) کے کثیرالحدی کی صورت میں لکھا جا سکتا ہے۔ یہی Chebyshev polynomials T_n ہیں: T_n(cos θ) = cos(nθ)۔ مثلاً cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1، اس لیے T_2(x) = 2x^2 - 1۔ یہ عددی تجزیے، filter design اور approximation theory میں ظاہر ہوتے ہیں۔