والِس حاصلِ ضرب π/2 کو سادہ fractions کے ایک لامتناہی product کے طور پر لکھتی ہے: (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × ⋯۔ ہر زوجی عدد دو بار آتا ہے، ایک بار اپنے پڑوسیوں سے بڑا اور ایک بار چھوٹا۔ کافی terms تک ضرب دینے پر یہ product π/2 ≈ 1.5708 کی طرف converge کرتی ہے۔
Wallis product: (2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)... The partial products converge to π/2 ≈ 1.5708 from below, oscillating around the limit.
John Wallis نے 1655 میں یہ formula integral ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx سے حاصل کی، جہاں اس نے n کے زوجی اور طاق cases کا موازنہ کیا۔ اس کی حیرت انگیز بات یہ ہے کہ یہ π کو geometry کے بغیر، صرف rational numbers کی ضرب سے پیدا کرتی ہے۔ یہی product Gamma function identity، π = Γ(1/2)²، سے بھی نکلتی ہے۔
Wallis product بہت آہستہ converge کرتی ہے: n pairs کے بعد خطا تقریباً 1/(4n) کے درجے کی ہوتی ہے۔ پھر بھی نظری اعتبار سے یہ نہایت اہم ہے، کیونکہ یہ اولین infinite products میں سے ایک تھی اور اسی نے sin(x) = x∏(1 − x²/n²π²) اور complex analysis میں infinite products کے پورے نظریے کی راہ کھولی۔
Even n: I(n) = (π/2)·(1/2)·(3/4)·(5/6)…(n−1)/n. Odd n: I(n) = 1·(2/3)·(4/5)…(n−1)/n. The ratio of adjacent integrals I(2n)/I(2n+1) → 1, giving the Wallis product.