گیلفونڈ مستقل e کو π کی طاقت تک اٹھانے سے بنتا ہے۔ اس کی تقریباً قیمت 23.14069263277927… ہے۔ اس کے فوقِ جبری ہونے کا ثبوت Hilbert کے ساتویں مسئلے کا حل تھا، جو 1900 میں بیسویں صدی کے 23 اہم غیر حل شدہ سوالات میں شامل کیا گیا تھا۔ الیگزینڈر گیلفونڈ نے 1934 میں اسے حل کیا۔
e^π sits tantalizingly close to 23 but misses by 0.14. The coincidence e^π - π ≈ 19.999 is even closer but equally meaningless.
گیلفونڈ-شنائڈر قضیہ (1934) کہتا ہے: اگر a جبری ہو، 0 یا 1 نہ ہو، اور b بھی جبری مگر غیر ناطق ہو، تو a^b فوقِ جبری ہوگا۔ گیلفونڈ مستقل e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i) ہے۔ یہاں a = −1 (جبری) اور b = −i (جبری اور غیر ناطق) ہے، اس لیے قضیہ براہِ راست لاگو ہوتا ہے۔
Table showing examples of numbers proved transcendental by Gelfond-Schneider
| Ausdruck | a | b | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transzendent |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transzendent |
| √2^√2 | √2 | √2 | transzendent |
عددی طور پر e^π − π ≈ 19.9990999 ایک دلچسپ قریب الوقوعی دیتا ہے، مگر اس کی کوئی معلوم ریاضیاتی توجیہ نہیں۔ غالباً یہ محض اتفاق ہے، لیکن ایسی بعض اتفاقی قدریں کبھی کبھی گہرے اسباب بھی رکھتی ہیں۔ e^π کو لاکھوں اعشاری مقامات تک نکالا جا چکا ہے: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. This can be proved without a calculator: the function x^(1/x) has a maximum at x=e, so e^(1/e) > π^(1/π), which gives e^π > π^e.
گیلفونڈ مستقل e^π ≈ 23.14069 ہے۔ اس کے فوقِ جبری ہونے کا ثبوت Hilbert کے ساتویں مسئلے (1900) کا حل تھا۔ گیلفونڈ نے 1934 میں ثابت کیا کہ اگر a جبری ہو (0 یا 1 نہ ہو) اور b جبری مگر غیر ناطق ہو تو a^b فوقِ جبری ہوگا۔ چونکہ e^π = (-1)^(-i) ہے، اور -1 اور -i دونوں جبری ہیں جبکہ -i غیر ناطق ہے، اس لیے قضیہ فوراً لاگو ہوتا ہے۔ e^π - π ≈ 19.999 کی یہ قربت ابھی تک بے وجہ معلوم ہوتی ہے۔