تمام مثبت صحیح اعداد کو اعشاری نقطے کے بعد ترتیب سے لکھیں: 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15… یہی شیمپرناؤن مستقل ہے۔ اس کی اعشاری توسیع میں ہر محدود ہندساتی سلسلہ کہیں نہ کہیں موجود ہوتا ہے، اور k ہندسوں کے ہر بلاک کی تعدد بالکل 1/10^k ہوتی ہے۔
First 1000 digits — digit 1 appears most due to numbers 1-9, 10-19... Distribution normalises as n grows.
D. G. Champernowne نے 1933 میں کیمبرج میں بطور undergraduate اس عدد کو بنایا تاکہ بنیاد 10 میں ایک نارمل عدد کی پہلی واضح مثال دی جا سکے۔ نارمل عدد وہ ہے جس میں k ہندسوں کے ہر بلاک کی تعدد 1/10^k ہو۔ شیمپرناؤن نے ثابت کیا کہ اس کا مستقل نارمل ہے—یہ کارنامہ π یا e جیسے قدرتی مستقلات کے لیے اب تک ممکن نہیں ہوا۔
In the first 100 digits, digit 1 appears 14 times. The imbalance disappears as more digits are included.
کُرٹ مہلر نے 1937 میں ثابت کیا کہ C₁₀ فوقِ جبری ہے۔ 0.1234567891011… ان نادر مستقلات میں سے ہے جسے کسی بھی صحت تک نکالنا آسان ہے، لیکن اس کی اعشاری توسیع میں ہر ممکن محدود متن، ہر عدد، اور کبھی بھی لکھی گئی ہر معلومات کہیں نہ کہیں اس کے ہندسوں میں موجود ہے۔
Selected 2-digit diagonal pairs in the first 10,000 digits of Champernowne's constant. Each pair appears close to 1% of the time. Full normality emerges at much larger scales.