اولر کی شناخت اولر کے فارمولے سے نکلتی ہے: eix = cos(x) + i·sin(x). اگر x = π رکھیں تو eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1، اس لیے eiπ + 1 = 0۔
eiθ یونٹ سرکل پر چلتا ہے۔ π کی گردش آپ کو −1 تک لے جاتی ہے۔ پھر 1 جمع کریں، 0 ملتا ہے۔
یہ حساب (0 اور 1)، الجبرہ (i)، ہندسہ (π)، اور تحلیل (e) — ریاضی کی چار مختلف شاخوں — کو ایک ہی نہایت سادہ مساوات میں جوڑ دیتی ہے۔ رچرڈ فائن مین نے اسے “ریاضی کا سب سے غیر معمولی فارمولا” کہا تھا۔
لیون ہارڈ اولر (1707–1783) نے eix = cos(x) + i·sin(x) کو اپنی کتاب Introductio in analysin infinitorum (1748) میں شائع کیا۔ شناخت اس کا خاص حال ہے جب x = π ہو۔ اولر نے e، i، f(x)، Σ اور π کی علامات کو متعارف کرایا یا انہیں رواج دیا۔
The Taylor series for eˣ groups into cos(π) for the real terms and i·sin(π) for the imaginary terms. Since cos(π) = −1 and sin(π) = 0, we get e^(iπ) = −1, so e^(iπ) + 1 = 0.
فارمولہ e^(iθ) جیسے جیسے θ بڑھتا ہے مرکب سطح پر unit circle کھینچتا ہے۔ e^(iπ) دراصل 1 سے ٹھیک π radians (180 درجے) کی گردش ہے، جو -1 پر پہنچتی ہے۔ پھر 1 جمع کرنے سے 0 واپس مل جاتا ہے۔ اسی لیے e^(iπ) + 1 = 0: یہ مرکب سطح کی نصف گردش ہے جسے مساوات کی شکل دی گئی ہے۔
e^(iθ) is a rotation operator. At θ=π you have rotated exactly half a circle. The point 1 on the real axis travels to -1. Adding 1 to both sides gives e^(iπ) + 1 = 0.
اولر کی شناخت e^(iπ) + 1 = 0 ریاضی کی پانچ اہم ترین مستقلات کو ایک ہی مساوات میں جمع کرتی ہے: e (قدرتی لوگرتھم کی بنیاد)، i (خیالی اکائی)، π (دائرہ مستقل)، 1 (ضربی شناخت)، اور 0 (جمعی شناخت)۔ یہ براہِ راست اولر کے فارمولے e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ) سے نکلتی ہے جب θ = π رکھا جائے۔ چونکہ cos(π) = -1 اور sin(π) = 0، اس لیے e^(iπ) = -1 حاصل ہوتا ہے۔ اولر نے اسے تقریباً 1748 میں شائع کیا۔ متعدد جائزوں میں اسے ریاضی کی سب سے خوب صورت مساوات قرار دیا گیا ہے۔