π(n) سے مراد n تک اولی اعداد کی تعداد ہے۔ قضیۂ اولی اعداد کہتا ہے کہ π(n) تقریباً n/ln(n) کی طرح بڑھتا ہے۔ جیسے جیسے n بڑا ہوتا ہے، n کے آس پاس تقریباً ہر ln(n) اعداد میں سے ایک عدد اولی ہوتا ہے۔ ایک ملین کے قریب لگ بھگ ہر 14 میں سے 1 عدد اولی ہے، اور ایک ارب کے قریب ہر 21 میں سے 1۔
π(n) counts the primes up to n (blue staircase). The Prime Number Theorem says π(n) ~ n/ln(n) — the ratio → 1 as n → ∞. The logarithmic integral Li(n) is even closer.
Gauss نے تقریباً 1800 کے آس پاس اولی اعداد کی جدولیں دیکھ کر یہ نتیجہ قیاس کیا تھا۔ 1896 میں Jacques Hadamard اور Charles-Jean de la Vallée Poussin نے آزادانہ طور پر اس کا ثبوت دیا، اور دونوں نے ریمن زیٹا فنکشن اور complex analysis استعمال کی۔ complex analysis کے بغیر ایک خالص elementary ثبوت 1948 میں Selberg اور Erdős نے آزادانہ طور پر دیا۔
Table showing density of primes at various scales
| n تک | اولی اعداد π(n) | کثافت ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 von 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 von 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 von 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 von 28 |
اگر Riemann Hypothesis درست ہو تو خطا کی بہترین حد ملتی ہے: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π)۔ اس کے بغیر ہم صرف اتنا جانتے ہیں کہ خطا o(n/ln(n)) ہے۔ اسی لیے Riemann Hypothesis ریاضی کا اہم ترین کھلا مسئلہ سمجھی جاتی ہے: یہ ہمیں بتائے گی کہ prime gaps کتنی درستگی سے پیش گوئی کے قابل ہیں۔
π(n) کے لیے n/ln(n) سے زیادہ درست تخمینہ logarithmic integral ہے: Li(n) = 2 سے n تک dt/ln(t) کا تکمل۔ Gauss اسی شکل کو ترجیح دیتا تھا۔ n = 1,000,000 پر n/ln(n) تقریباً 72,382 دیتا ہے، جبکہ Li(n) 78,628 دیتا ہے، اور اصل تعداد 78,498 ہے۔ اس لیے Li(n) کی خطا کہیں کم ہے۔ Riemann Hypothesis اسی خطا کو √n · ln(n) کی حد میں باندھ دے گی۔