کسی بھی قائم الزاویہ مثلث میں وتر (یعنی وہ ضلع جو قائم زاویے کے مقابل ہو) پر بنا مربع باقی دو اضلاع پر بنے مربعوں کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے۔ اگر دونوں قائم اضلاع a اور b ہوں اور وتر c ہو، تو a² + b² = c²۔ مثال کے طور پر 3-4-5 مثلث میں 9 + 16 = 25 بنتا ہے۔
a² + b² = c². For the 3-4-5 triangle: 9 + 16 = 25. The blue and red squares together equal the green square in area.
1900 قبل مسیح کی Babylonian مٹی کی تختیوں میں Pythagorean triples جیسے (3,4,5)، (5,12,13)، (8,15,17) درج ہیں، جو ظاہر کرتے ہیں کہ نتیجہ فیثاغورث سے بہت پہلے عملی طور پر معلوم تھا۔ فیثاغورث کے مکتبے نے تقریباً 570 قبل مسیح میں پہلا ثبوت دیا۔ آج اس قضیے کے 370 سے زیادہ مختلف ثبوت معلوم ہیں، جن میں algebraic، geometric، trigonometric ثبوت شامل ہیں، اور ایک ثبوت 1876 میں امریکی صدر James Garfield نے بھی شائع کیا۔
Table of Pythagorean triples
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
n dimensions میں مبدا سے نقطے (x₁, x₂, …, xₙ) تک فاصلہ √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²) ہوتا ہے۔ Fermat’s Last Theorem، جسے Andrew Wiles نے 1995 میں 358 سال بعد ثابت کیا، کہتا ہے کہ n > 2 کے لیے aⁿ + bⁿ = cⁿ کی کوئی صحیح عددی solutions نہیں ہوتیں۔ فیثاغورث کا قضیہ اسی کا n = 2 والا خاص معاملہ ہے، جس میں لامتناہی صحیح عددی solutions موجود ہیں۔
Both big squares are (a+b)×(a+b). Both contain four identical right triangles. What is left over in the left square is c². What is left over in the right square is a²+b². They must be equal.
ہر قائم الزاویہ مثلث میں a² + b² = c² ہوتا ہے۔ Babylonian تہذیب کو تقریباً 1800 قبل مسیح تک یہ نتیجہ عملی طور پر معلوم تھا، جبکہ پہلا ثبوت Pythagoreans نے تقریباً 570 قبل مسیح میں دیا۔ آج 370 سے زیادہ الگ الگ ثبوت معلوم ہیں، جن میں 1876 میں James Garfield کا ثبوت بھی شامل ہے۔ صحیح عددی solutions کو Pythagorean triples کہتے ہیں اور تمام triples کو (m²−n², 2mn, m²+n²) سے پیدا کیا جا سکتا ہے۔ Wiles کے ثابت کردہ Fermat’s Last Theorem کے مطابق 2 سے بڑے اسّ کے لیے ایسی کوئی مماثل صحیح عددی solutions نہیں ملتیں۔