عددِ اولی ایسا صحیح عدد ہے جو 1 سے بڑا ہو اور جس کے صرف دو مقسوم علیہ ہوں: 1 اور وہ خود۔ ہر 1 سے بڑا صحیح عدد یا تو اولی ہوتا ہے یا اولی اعداد کے ایک منفرد حاصلِ ضرب کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ یہی Fundamental Theorem of Arithmetic ہے: ہر عدد کی ایک ہی prime factorisation ہوتی ہے۔
Euclid نے تقریباً 300 قبل مسیح میں ثابت کیا کہ اولی اعداد لامتناہی ہیں۔ فرض کریں کہ ایک سب سے بڑا عددِ اولی p موجود ہے۔ تمام معلوم اولی اعداد کو آپس میں ضرب دیں اور 1 جمع کریں۔ حاصل یا تو خود اولی ہوگا، جو مفروضے کے خلاف ہے، یا اس کا کوئی اولی عامل آپ کی فہرست میں نہیں ہوگا، جو پھر بھی خلافِ مفروضہ ہے۔ اس لیے اولی اعداد کبھی ختم نہیں ہوتے۔
The first 15 primes up to 47. There are 15 primes below 50.
| اولی عدد | # | اولی عدد | # | اولی عدد | # |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 19 | 8 | 37 | 12 |
| 3 | 2 | 23 | 9 | 41 | 13 |
| 5 | 3 | 29 | 10 | 43 | 14 |
| 7 | 4 | 31 | 11 | 47 | 15 |
| 11 | 5 | 37 | 12 | 53 | 16 |
| 13 | 6 | 41 | 13 | 59 | 17 |
| 17 | 7 | 43 | 14 | 61 | 18 |
MemorisePi میں 2 سے 7919 تک کے اولی اعداد، یعنی پہلے 1000 primes استعمال ہوتے ہیں۔ قضیۂ اولی اعداد بتاتا ہے کہ nواں عددِ اولی تقریباً n·ln(n) ہوتا ہے۔ prime 1000 دراصل 7919 ہے، جو تخمینے 1000·ln(1000) ≈ 6908 کے کافی قریب ہے۔ prime gaps کی تقسیم Riemann Hypothesis سے گہرا تعلق رکھتی ہے۔
2 سے بڑے ہر زوجی صحیح عدد کو دو اولی اعداد کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ مثالیں: 4 = 2 + 2، 6 = 3 + 3، 100 = 3 + 97۔ Christian Goldbach نے 1742 میں Euler کو ایک خط میں یہ قیاس پیش کیا تھا۔ اسے 4 × 10^18 تک کے تمام زوجی اعداد کے لیے چیک کیا جا چکا ہے، مگر اب بھی ثابت نہیں ہوا۔ یہ ریاضی کے قدیم ترین غیر حل شدہ مسائل میں سے ایک ہے۔
عددِ اولی ایسا مثبت صحیح عدد ہے جو 1 سے بڑا ہو اور صرف 1 اور خود اپنے سے تقسیم ہو۔ Euclid نے تقریباً 300 قبل مسیح میں ثابت کیا کہ اولی اعداد لامتناہی ہیں۔ Fundamental Theorem of Arithmetic کہتا ہے کہ ہر 1 سے بڑا صحیح عدد ایک منفرد prime factorisation رکھتا ہے۔ قضیۂ اولی اعداد کے مطابق nواں prime تقریباً n·ln(n) کے برابر ہوتا ہے۔ MemorisePi پہلے 1000 primes، یعنی 2 سے 7919 تک، کی مشق کراتا ہے۔ آیا ہر زوجی عدد دو primes کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے یا نہیں، یہ Goldbach کا قیاس ہے اور اب تک غیر ثابت ہے۔