فنکشن e^(−x²) گھنٹی نما منحنی ہے: x = 0 پر اس کی قیمت 1 ہے اور دونوں سمتوں میں متوازن انداز سے 0 کی طرف جاتی ہے۔ پوری حقیقی خط پر اس کے نیچے رقبہ بالکل √π ≈ 1.7724 کے برابر ہے۔ یہ حیرت انگیز بات ہے کہ e اور π، جو عموماً الگ سیاقوں میں آتے ہیں، احتمال کے سب سے سادہ تکمل میں متحد ہو جاتے ہیں۔
The integral of e^(−x²) over all x equals √π ≈ 1.7725. This is the Gaussian integral. Its square root divided by √(2π) gives the standard normal distribution curve.
اس کا ثبوت ریاضی کی نہایت نفیس ترکیبوں میں سے ایک ہے۔ I = ∫e^(−x²)dx رکھیں۔ پھر I² کو x اور y پر ایک double integral کی صورت میں لکھیں، اور قطبی مختصات r, θ میں منتقل ہو جائیں۔ integrand، e^(−r²) بن جاتا ہے اور area element، r·dr·dθ۔ یہی r تکمل کو آسان بناتا ہے: ∫₀^∞ r e^(−r²)dr = 1/2۔ پھر ∫₀^(2π) dθ = 2π سے ضرب دے کر I² = π ملتا ہے، لہٰذا I = √π۔
normal distribution، central limit theorem، quantum wave functions (خاص طور پر Gaussian wave packets)، اور factorials کے لیے Stirling approximation—سب اسی ایک تکمل پر قائم ہیں۔ جہاں کہیں e^(−x²) کو تکمل کیا جاتا ہے، وہاں √π ظاہر ہوتا ہے، اور مسلسل احتمال میں یہ تقریباً ہر جگہ ہوتا ہے۔
گاوسی تکمل یہ ہے: -∞ سے +∞ تک e^(-x^2) کا تکمل = √π۔ اس کا خوب صورت ثبوت تکمل کو مربع کر کے قطبی مختصات میں لے جاتا ہے اور پھر اسے بالکل صحیح انداز سے حل کرتا ہے۔ normal distribution کی probability density (1/√(2π)) e^(-x^2/2) اسی وجہ سے 1 تک تکمل ہوتی ہے۔ Gaussian فنکشن کوانٹم میکانیات، حرارت کے پھیلاؤ، Stirling approximation، اور central limit theorem میں ظاہر ہوتا ہے۔