Stała Gelfonda to e podniesione do potęgi π. Jej przybliżona wartość wynosi 23,14069263277927… Udowodnienie, że jest transcendentalna, rozwiązało siódmy problem Hilberta, postawiony w 1900 roku jako jedno z 23 najważniejszych pytań nierozwiązanych XX wieku. Aleksandr Gelfond dokonał tego w 1934 roku.
e^π leży kusząco blisko 23, ale mija tę wartość o około 0,14. Zbieżność e^π - π ≈ 19,999 jest jeszcze bliższa, lecz równie pozbawiona znanego znaczenia.
Twierdzenie Gelfonda-Schneidera (1934) mówi: jeśli a jest liczbą algebraiczną różną od 0 i 1, a b jest algebraiczna i niewymierna, to a^b jest transcendentalna. Stała Gelfonda spełnia e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Tutaj a = −1 (algebraiczna), a b = −i (algebraiczna i niewymierna). Twierdzenie stosuje się bezpośrednio.
Tabela pokazująca przykłady liczb, których transcendencję wykazuje twierdzenie Gelfonda-Schneidera.
| Wyrażenie | a | b | Wynik |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transcendentalna |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transcendentalna |
| √2^√2 | √2 | √2 | transcendentalna |
Liczbowa zbieżność e^π − π ≈ 19,9990999 nie ma znanego wyjaśnienia matematycznego. Prawdopodobnie to przypadek, choć podobne koincydencje — jak stała Ramanujana — czasem okazują się głębokie. e^π obliczono do milionów miejsc po przecinku: 23,14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. Można to udowodnić bez kalkulatora: funkcja x^(1/x) ma maksimum w x=e, więc e^(1/e) > π^(1/π), a stąd wynika e^π > π^e.
Stała Gelfonda e^pi ≈ 23,14069. Udowodnienie, że jest transcendentalna, rozwiązało siódmy problem Hilberta (1900). Gelfond zrobił to w 1934 roku: jeśli a jest algebraiczna (ale nie 0 ani 1), a b jest algebraiczna i niewymierna, to a^b jest transcendentalna. Ponieważ e^pi = (-1)^(-i), a -1 i -i są algebraiczne, przy czym -i jest niewymierne, twierdzenie ma tu zastosowanie. Zbieżność e^pi - pi ≈ 19,999 nie ma znanego wyjaśnienia matematycznego.