Pi to stosunek obwodu dowolnego okręgu do jego średnicy. Niezależnie od rozmiaru okręgu ten stosunek jest zawsze dokładnie taki sam: π = 3,14159265358979... Definicja jest geometryczna, ale pi pojawia się w fizyce, rachunku prawdopodobieństwa, inżynierii i w każdej gałęzi matematyki.
Pi nie da się zapisać jako ułamka dwóch liczb całkowitych (udowodnił Johann Heinrich Lambert w 1761 roku). Jest też liczbą transcendentalną: nie jest rozwiązaniem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych (udowodnił Ferdinand von Lindemann w 1882 roku). Oznacza to, że niemożliwe jest skwadratura koła przy użyciu cyrkla i linijki. Rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy i nigdy się nie powtarza.
Archimedes z Syrakuz (ok. 250 r. p.n.e.) jako pierwszy ściśle oszacował pi, pokazując, że leży ono między 3+10/71 a 3+1/7 przy użyciu wielokątów wpisanych i opisanych o 96 bokach. Babilończycy używali 3,125, a Egipcjanie 3,1605. Symbol π wprowadził walijski matematyk William Jones w 1706 roku, a Euler uczynił go popularnym. Na rok 2024 obliczono ponad 100 bilionów cyfr liczby pi.
Pi pojawia się daleko poza okręgami: w rozkładzie normalnym (krzywa dzwonowa zawiera √(2π)), w tożsamości Eulera e^(iπ) + 1 = 0, w prawdopodobieństwie, że dwie losowe liczby całkowite nie mają wspólnego dzielnika (6/π²), we wzorze Stirlinga n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, w mechanice kwantowej oraz we wzorze na objętość kuli (4πr³/3).
π ≈ 3,14159265358979323846. Niewymierne (Lambert, 1761). Transcendentalne (Lindemann, 1882). Dzień Pi to 14 marca (3/14 w amerykańskim zapisie daty). Ułamek 22/7 zawyża pi o 0,04%. Lepsze przybliżenie 355/113 jest poprawne do 6 miejsc po przecinku. Nie wiadomo, czy pi jest liczbą normalną (czy każda sekwencja cyfr pojawia się z jednakową częstością), ale powszechnie się w to wierzy.
Archimedes użył wielokątów 96-bocznych, by wykazać 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, czyli 3,1408 < π < 3,1429. Nie obliczył π bezpośrednio, lecz zamknął je w przedziale. Metoda działa, bo obwód okręgu leży między obwodami obu wielokątów.
Pi is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the wzór leibniza.