Stała Erdősa-Borweina E to suma 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ Mianownikami są liczby Mersenne'a 2ⁿ − 1. Paul Erdős udowodnił w 1948 roku, że E jest niewymierna, używając jedynie elementarnych własności zapisów binarnych.
Sumy częściowe szybko zbliżają się do E ≈ 1,6066951524. Mianowniki 2^n−1 rosną geometrycznie, więc zbieżność jest znacznie szybsza niż w problemie bazylejskim.
Szereg zbiega geometrycznie szybko: każdy wyraz jest w przybliżeniu o połowę mniejszy od poprzedniego (ponieważ dla dużych n zachodzi 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ). Już po 20 wyrazach suma jest poprawna do 6 miejsc po przecinku. Równoważność E = Σ d(n)/2ⁿ, gdzie d(n) liczy nieparzyste dzielniki n, łączy tę stałą z teorią podzielności.
To, czy E jest transcendentalna, pozostaje otwartym pytaniem. Szczególnie zapamiętany jest oszczędny charakter dowodu Erdősa: wykorzystał on fakt, że binarne zapisy mianowników 1, 3, 7, 15, 31… (czyli 1, 11, 111, 1111, 11111 w systemie binarnym) mają specjalną strukturę, która uniemożliwia, by suma była wymierna. Wartość: 1,60669515245214159769492939967985…
Każdy mianownik 2^n - 1 jest w przybliżeniu dwa razy większy od poprzedniego. Suma zbiega do E ~1,6066951524.
Stała Erdősa-Borweina E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1,60669. Paul Erdős udowodnił w 1948 roku, że jest niewymierna, wykorzystując własności binarne mianowników 2^n - 1. Jest też równa sumie d(n)/2^n, gdzie d(n) liczy nieparzyste dzielniki n. Szereg zbiega szybko: każdy wyraz jest mniej więcej o połowę mniejszy od poprzedniego. To, czy E jest transcendentalna, pozostaje nieznane. Wartość: 1,60669515245214159769492939967985...