suma WSZYSTKICH dzielników (włącznie z n) jest równa dwa razy liczbie
Liczba doskonała jest równa sumie wszystkich swoich dzielników właściwych, czyli wszystkich dzielników poza nią samą. 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. Są niezwykle rzadkie: znamy tylko 51, wszystkie parzyste, i rosną astronomicznie szybko. Czy istnieje choć jedna nieparzysta liczba doskonała, pozostaje jednym z najstarszych otwartych problemów matematyki.
Pierwsze cztery liczby doskonałe: portrety dzielników
Twierdzenie Euklidesa-Eulera: parzyste liczby doskonałe ↔ liczby pierwsze Mersenne’a
n is even perfect ⟺ n = 2^(p−1) · (2^p − 1)
gdzie 2^p − 1 jest liczbą pierwszą Mersenne’a
Euklides udowodnił kierunek →. Euler udowodnił ←. Wszystkie 51 znanych liczb doskonałych jest parzystych i pochodzi z tego wzoru. Nie wiadomo, czy istnieją nieparzyste liczby doskonałe.
Liczby doskonałe w skali logarytmicznej: rosną szybciej niż wykładniczo
Pokazano wartości log10. Nawet w skali logarytmicznej każdy kolejny skok jest dramatycznie większy. 51. liczba doskonała ma ponad 49 milionów cyfr.
Liczba doskonała jest równa sumie swoich dzielników właściwych: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Euklides pokazał, że 2^(p-1)*(2^p-1) jest doskonała zawsze wtedy, gdy 2^p-1 jest liczbą pierwszą. Euler udowodnił też odwrotność: każda parzysta liczba doskonała ma taką postać. Czy istnieje choć jedna nieparzysta liczba doskonała, pozostaje jednym z najstarszych nierozwiązanych problemów; nie znaleziono żadnej. Znamy tylko 51 liczb doskonałych, wszystkie parzyste, odpowiadające 51 znanym liczbom pierwszym Mersenne’a.