Liczba zespolona ma dwie części: rzeczywistą i urojoną. Jednostka urojona i spełnia równanie i² = -1. Każda liczba rzeczywista jest liczbą zespoloną z b = 0. Liczby zespolone wypełniają płaszczyznę 2D zamiast prostej 1D, dzięki czemu każdy wielomian ma dokładnie tyle pierwiastków, ile wynosi jego stopień.
Mnożenie przez i oznacza obrót o 90 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Mnożenie przez i dwa razy (czyli przez i²) daje obrót o 180 stopni, który zamienia 1 w -1. Zatem i² = -1 nie jest sztuczką algebraiczną, lecz obrotem.
Nad liczbami rzeczywistymi równanie x²+1=0 nie ma rozwiązania. Nad liczbami zespolonymi ma dwa: i oraz -i. Podstawowe twierdzenie algebry mówi: po rozszerzeniu do liczb zespolonych każdy wielomian stopnia n ma dokładnie n pierwiastków.
Tabela porównująca wielomiany nad liczbami rzeczywistymi i zespolonymi, pokazująca że każdy wielomian stopnia n ma dokładnie n zespolonych pierwiastków.
| WIELOMIAN | PIERWIASTKI RZECZYWISTE | ZESPOLONE |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 pierwiastków rzeczywistych | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 pierwiastek rzeczywisty | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 pierwiastków rzeczywistych | 4 |
| Każdy wielomian stopnia n ma dokładnie n zespolonych pierwiastków, licząc krotności |
Liczby zespolone rozszerzają oś rzeczywistą do płaszczyzny 2D przez wprowadzenie i, gdzie i² = -1. Każda liczba zespolona z = a + bi ma część rzeczywistą a, część urojoną b, moduł |z| = sqrt(a squared + b squared) oraz argument arg(z) = atan(b/a). Mnożenie przez e^(i*theta) oznacza obrót o theta radianów. Podstawowe twierdzenie algebry mówi, że każdy wielomian stopnia n ma dokładnie n zespolonych pierwiastków z krotnościami. Liczby zespolone są fundamentem mechaniki kwantowej, przetwarzania sygnałów i tożsamości Eulera.