e to jedyna liczba, dla której funkcja eˣ jest swoją własną pochodną. Weź dowolną wielkość i pozwól jej rosnąć ciągle w tempie 100% rocznie. Po dokładnie jednym roku otrzymujesz e razy tyle, ile na początku. Żadna inna podstawa nie ma tej samoodnoszącej się własności.
Gdy n rośnie, ciąg zbliża się do e od dołu, dążąc do 2,71828182845904…
Tabela pokazująca zbieżność (1+1/n)^n do e.
| n | (1 + 1/n)ⁿ | Odległość od e |
|---|---|---|
| 1 | 2,000000 | 0,71828 |
| 10 | 2,593742 | 0,12454 |
| 100 | 2,704814 | 0,01347 |
| 1 000 | 2,716924 | 0,00136 |
| 1 000 000 | 2,718281 | 0,0000014 |
| ∞ | 2,71828… | 0 |
Interpretacja procentu składanego: jeśli bank płaci 100% rocznie, ale kapitalizuje odsetki n razy w roku, twoje saldo rośnie jak (1 + 1/n)ⁿ. Przy kapitalizacji miesięcznej dostajesz 2,613. Przy kapitalizacji co sekundę — 2,718. Przy kapitalizacji ciągłej otrzymujesz dokładnie e.
Dla x=1 wysokość wykresu wynosi e ≈ 2,718, a nachylenie stycznej również wynosi e. Żadna inna podstawa b^x nie ma tej własności.
Jacob Bernoulli odkrył e w 1683 roku, badając procent składany. Euler nazwał tę liczbę e w 1731 roku. Jest niewymierna (Euler, 1737) i transcendentalna (Hermite, 1873). Jej rozwinięcie dziesiętne 2,71828182845904523536… nigdy się nie powtarza.
Startując od 1 dolara przy 100% rocznie: kapitalizacja miesięczna daje 2,613 dolara, dzienna 2,714, a co sekundę 2,718. Granica dla n→∞ jest dokładnie równa e.
e (liczba Eulera) wynosi w przybliżeniu 2,71828182845904523536. Jest to jedyna liczba, dla której funkcja e^x jest równa swojej pochodnej w każdym punkcie. Jacob Bernoulli odkrył ją w 1683 roku, badając procent składany. Leonhard Euler oznaczył ją literą e około 1731 roku. e jest niewymierna (Euler, 1737) i transcendentalna (Hermite, 1873). Pojawia się w ciągłym wzroście i zaniku, logarytmach naturalnych, rozkładzie normalnym, procencie składanym, rozpadzie promieniotwórczym oraz w tożsamości Eulera e^(i*pi) + 1 = 0.
Euler's Number e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the taylor series.