Problem bazylejski pyta: jaka jest dokładna wartość szeregu 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯? Wiadomo, że szereg jest zbieżny, lecz do jakiej liczby? Pietro Mengoli postawił to pytanie w 1650 roku. Przez 84 lata pozostawało bez odpowiedzi, aż Euler rozwiązał je w 1734 roku, mając 28 lat.
Sumy częściowe powoli zbliżają się do π²/6 ≈ 1,6449. Euler udowodnił w 1734 roku, że granica jest równa π²/6, łącząc analizę z geometrią.
Dowód Eulera polegał na rozłożeniu szeregu Taylora dla sin(x)/x na iloczyn nieskończony po jego pierwiastkach ±π, ±2π, ±3π… Porównanie współczynnika przy x² w postaci iloczynowej ze współczynnikiem z szeregu Taylora daje bezpośrednio Σ 1/n² = π²/6. To jedno z najsłynniejszych obliczeń w matematyce, a obecność π nie jest tu przypadkiem: okręgi i sfery łączą się naturalnie z sumami po liczbach całkowitych poprzez funkcję dzeta Riemanna.
Każdy wyraz 1/n^2 szybko maleje. Ich suma zbiega dokładnie do pi^2/6 ≈ 1,6449.
Wynik ten uogólnia się: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, a wszystkie parzyste wartości funkcji dzeta są wymiernymi wielokrotnościami potęg π. Wartości nieparzyste ζ(3), ζ(5), ζ(7)… są znacznie bardziej tajemnicze. Apéry udowodnił w 1978 roku, że ζ(3) jest niewymierna, ale nie znamy żadnej postaci zamkniętej w terminach π.
Prawdopodobieństwo, że dwie losowo wybrane liczby całkowite nie mają wspólnego dzielnika większego od 1 (są względnie pierwsze), wynosi dokładnie 6/pi^2, czyli odwrotność π^2/6. To około 60,8%. Łączy to problem bazylejski bezpośrednio z teorią liczb i rachunkiem prawdopodobieństwa.