Arytmetyka modularna to arytmetyka na okręgu. Dwie liczby są przystające modulo n, jeśli różnią się o wielokrotność n. Zegar liczy modulo 12: 10 godzin po 5 jest 3, a nie 15. Ta prosta idea leży u podstaw nowoczesnej kryptografii, funkcji skrótu, kodów korekcyjnych i dużej części teorii liczb.
Każdy wiersz i każda kolumna zawiera {0,1,2,3,4} dokładnie raz. Pięć elementów tworzy grupę domkniętą względem dodawania modulo 5. Na czerwono zaznaczono sumy, które zawijają się po przekroczeniu 4.
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Arytmetyka modularna definiuje przystawanie: a jest przystające do b modulo n, jeśli n dzieli a-b. Gauss usystematyzował tę teorię w 1801 roku. Leży ona u podstaw całej współczesnej kryptografii klucza publicznego: szyfrowanie RSA opiera się na małym twierdzeniu Fermata, które mówi, że a^(p-1) jest przystające do 1 mod p dla każdej liczby pierwszej p, która nie dzieli a. Funkcje skrótu używają operacji modularnych do mapowania dużych wejść na wyniki o stałym rozmiarze. Liczby całkowite modulo n tworzą pełny pierścień, a gdy n jest pierwsze — ciało skończone.