Liczba jest transcendentalna, jeśli nie jest pierwiastkiem żadnego równania wielomianowego o współczynnikach całkowitych. pi nie spełnia równania takiego jak x^2 - 3x + 1 = 0. e również nie spełnia żadnego takiego równania. Takie liczby leżą poza zasięgiem algebry. Co ciekawe, choć trudno je nazwać konkretnie, liczby transcendentalne są regułą, a nie wyjątkiem: prawie każda liczba rzeczywista jest transcendentalna.
Każda liczba wymierna jest algebraiczna. Każda liczba algebraiczna jest rzeczywista lub zespolona. Ale liczby transcendentalne leżą poza wszystkimi tymi równaniami.
Od sztucznej konstrukcji Liouville’a z 1844 roku po twierdzenie Gelfonda-Schneidera z 1934 roku rozwijała się teoria liczb transcendentalnych.
Tabela liczb algebraicznych wraz z ich wielomianami minimalnymi oraz liczb transcendentalnych, dla których taki wielomian nie istnieje
| LICZBA | WIELOMIAN MINIMALNY |
|---|---|
| √2 = 1,41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1,61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1,70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3,14159... | taki wielomian nie istnieje |
| e = 2,71828... | taki wielomian nie istnieje |
| e^π = 23,1406... | taki wielomian nie istnieje |
Liczba jest transcendentalna, jeśli nie spełnia żadnego równania wielomianowego o współczynnikach całkowitych. Liouville podał pierwszy jawny przykład w 1844 roku. Hermite udowodnił transcendencję e w 1873 roku. Lindemann wykazał w 1882 roku transcendencję pi, czym ostatecznie zamknął starożytny problem kwadratury koła. Twierdzenie Gelfonda-Schneidera (1934) mówi, że a^b jest transcendentalne, gdy a jest algebraiczne i różne od 0 oraz 1, a b jest algebraiczne i niewymierne. Chociaż liczby transcendentalne są typowe, udowodnienie transcendencji konkretnej liczby pozostaje bardzo trudne.