Niech π(n) oznacza liczbę liczb pierwszych nie większych niż n. Twierdzenie o liczbach pierwszych mówi, że π(n) rośnie jak n/ln(n). Gdy n staje się większe, w pobliżu n około 1 na każde ln(n) liczb jest pierwsza. W pobliżu miliona jest to mniej więcej 1 na 14. W pobliżu miliarda — 1 na 21.
π(n) liczy liczby pierwsze do n (niebieskie schodki). Twierdzenie o liczbach pierwszych mówi, że π(n) ~ n/ln(n) — iloraz → 1, gdy n → ∞. Całka logarytmiczna Li(n) jest jeszcze dokładniejszym przybliżeniem.
Gauss wysunął to przypuszczenie około 1800 roku po badaniu tablic liczb pierwszych. Niezależnie udowodnili je w 1896 roku Jacques Hadamard i Charles-Jean de la Vallée Poussin, obaj używając funkcji dzeta Riemanna i analizy zespolonej. Czysto elementarny dowód, bez analizy zespolonej, znaleźli niezależnie Selberg i Erdős w 1948 roku.
Tabela pokazująca gęstość liczb pierwszych w różnych skalach.
| Do n | Liczby pierwsze π(n) | Gęstość ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 na 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 na 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 na 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 na 28 |
Hipoteza Riemanna dałaby najostrzejsze oszacowanie błędu: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). Bez niej wiemy tylko, że błąd jest o(n/ln(n)). Dlatego hipoteza Riemanna jest najważniejszym otwartym problemem matematyki: powiedziałaby nam dokładnie, jak przewidywalne są odstępy między liczbami pierwszymi.
Dokładniejszym przybliżeniem π(n) niż n/ln(n) jest całka logarytmiczna Li(n) = całka od 2 do n z dt/ln(t). Gauss wolał właśnie tę postać. Dla n = 1 000 000: n/ln(n) daje 72 382, podczas gdy Li(n) daje 78 628, wobec dokładnej wartości 78 498. Błąd Li(n) jest dużo mniejszy. Hipoteza Riemanna dałaby ścisłe ograniczenie tego błędu przez sqrt(n) * ln(n).