ζ(3) to wartość funkcji dzeta Riemanna w punkcie 3, czyli suma 1/n³ po wszystkich dodatnich liczbach całkowitych. Dla parzystych argumentów Euler znalazł piękne postacie zamknięte: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Dla argumentów nieparzystych taka formuła nie jest znana. To, czy ζ(3) w ogóle wiąże się z π, pozostaje niewiadome.
z(3) leży między dwiema wartościami o znanych postaciach zamkniętych zawierających π. Nadal nie wiadomo, czy samo z(3) zawiera π.
W 1978 roku Roger Apéry ogłosił dowód, że ζ(3) jest niewymierna. Publiczność była sceptyczna. Henri Cohen i inni matematycy pobiegli do domu, by przez noc sprawdzić argument na komputerach. Następnego ranka potwierdzili, że dowód jest poprawny. „To było jak grom z jasnego nieba” — wspominał jeden z uczestników. Apéry miał wtedy 64 lata.
Sumy częściowe 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... zbliżają się do ζ(3) ≈ 1,20206 od dołu. Zbieżność jest powolna: nawet dla n=50 suma nadal różni się o około 0,003.
To, czy ζ(3) można wyrazić za pomocą π, jest najważniejszym otwartym pytaniem. Wszystkie parzyste wartości funkcji dzeta są wymiernymi wielokrotnościami odpowiedniej potęgi π. Nieparzyste wartości zdają się należeć do zupełnie innego świata. Wiadomo, że nieskończenie wiele nieparzystych wartości ζ(2n+1) jest niewymiernych (Rivoal, 2000), ale dokładny obraz nadal pozostaje tajemniczy. Pełna wartość: 1,20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = liczba wymierna × π^(2k) dla każdego parzystego k. Euler udowodnił to dla wszystkich wartości parzystych. Ale ζ(3), ζ(5), ζ(7)… są zupełnie inne. ζ(3) jest niewymierna (Apéry), lecz nie znamy żadnego związku z π. Być może jest naprawdę niezależna od π.
Tabela pokazująca wartości dzeta dla parzystych argumentów jako wzory z π, podczas gdy wartości nieparzyste pozostają tajemnicą.
| Parzyste s: wzory dokładne | Nieparzyste s: zagadka |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1,20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | niewymierna (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1,03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | niewymierna? nie wiadomo |
| Wszystkie = wymierna × π^s | Brak znanego związku z π |
Nie wiadomo. Roger Apéry udowodnił w 1978 roku, że zeta(3) jest niewymierna, ale to, czy jest transcendentalna, pozostaje otwartym problemem. Powszechnie uważa się, że tak, lecz dowodu wciąż brak.
W elektrodynamice kwantowej (poprawki do momentu magnetycznego elektronu), teorii macierzy losowych oraz w entropii dwuwymiarowego modelu Isinga. Pojawia się także w rozkładach Fermiego-Diraca i Bosego-Einsteina w mechanice statystycznej.
Ramanujan znalazł szybko zbieżne szeregi dla zeta(3), w tym wzór zawierający 7pi^3/180 i sumy po wyrażeniach wykładniczych. Jego notatniki zawierały dziesiątki tożsamości związanych z zeta(3), z których większość udowodniono dopiero dekady po jego śmierci.
Są to liczby całkowite A(n) = suma C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 po k, które pojawiają się w dowodzie niewymierności Apéry'ego. Pierwsze z nich to 1, 5, 73, 1445, 33001. Spełniają zależność rekurencyjną i rosną w sposób, który wymusza skracanie się określonych czynników w mianownikach sum częściowych 1/n^3, co prowadzi do niewymierności granicy.
Stała Apéry'ego ζ(3) jest sumą 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1,20205690315959. Dla parzystych wartości s Euler znalazł postacie zamknięte z π: ζ(2) = π^2/6, ζ(4) = π^4/90. Dla wartości nieparzystych taka formuła nie jest znana. Roger Apéry udowodnił w 1978 roku, w wieku 64 lat, że ζ(3) jest niewymierna. To, czy jest transcendentalna albo wyrażalna przez π, nadal pozostaje nieznane.