Liczba jest niewymierna, jeśli nie można jej zapisać jako ułamek p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi. Jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy i nigdy się nie powtarza. sqrt(2), pi, e i phi są niewymierne. Nie są wyjątkami ani ciekawostkami: ogromna większość liczb rzeczywistych jest niewymierna.
Niebieskie: liczby wymierne (dokładne ułamki). Czerwone: liczby niewymierne (nieokresowe rozwinięcia dziesiętne). Między dowolnymi dwiema wymiernymi leży niewymierna i odwrotnie.
Tabela porównująca liczby wymierne z rozwinięciami skończonymi lub okresowymi oraz liczby niewymierne z rozwinięciami nieskończonymi i nieokresowymi.
| WYMIERNE: kończy się lub powtarza | NIEWYMIERNE: nigdy się nie powtarza |
|---|---|
| 1/4 = 0,25000... | √2 = 1,4142135... |
| skończone | brak wzoru, nigdy |
| 1/3 = 0,3333... | π = 3,1415926... |
| blok okresowy: {3} | brak wzoru, nigdy |
| 22/7 = 3,142857... | e = 2,7182818... |
| blok okresowy: {142857} | brak wzoru, nigdy |
| 5/11 = 0,454545... | φ = 1,6180339... |
| blok okresowy: {45} | brak wzoru, nigdy |
Liczby wymierne, mimo że jest ich nieskończenie wiele, da się wypisać w listę (są przeliczalne). Liczb niewymiernych nie da się wypisać. Gdyby losowo wybrać liczbę rzeczywistą, prawdopodobieństwo, że będzie wymierna, wynosi dokładnie zero.
Liczba jest niewymierna, jeśli nie można jej zapisać jako ułamka p/q z liczbami całkowitymi p i q. Jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy i nigdy się nie powtarza. Pitagorejczycy udowodnili niewymierność sqrt(2) około 500 roku p.n.e., co było wtedy szokującym odkryciem. Lambert wykazał niewymierność pi w 1761 roku, a Euler — e w 1737. Większość liczb rzeczywistych jest niewymierna: wymierne są przeliczalne, a niewymierne nieprzeliczalne, więc losowo wybrana liczba rzeczywista z prawdopodobieństwem 1 jest niewymierna. Liczby algebraiczne niewymierne spełniają równania wielomianowe; transcendentalne — nie.