Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego łączy dwie pozornie odrębne idee. Część 1: jeśli całkujesz funkcję od ustalonego punktu do x, to pochodna tej całki jest pierwotną funkcją. Część 2: całka oznaczona funkcji f od a do b jest równa dowolnej funkcji pierwotnej F obliczonej w punkcie b minus F w punkcie a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2,667. Funkcja pierwotna F(x) = x³/3 daje dokładne pole bez przybliżeń.
Przed tym twierdzeniem obliczanie pól wymagało sum Riemanna: dzielenia obszaru na cienkie prostokąty, sumowania ich i przechodzenia do granicy. Podstawowe twierdzenie zastępuje to wszystko jednym odejmowaniem. Newton rozumiał tę zależność już w 1666 roku, a Leibniz niezależnie od niego w 1675. Ich spór o pierwszeństwo podzielił na całe pokolenie matematykę brytyjską i kontynentalną.
Każda całka obliczana na kursach analizy korzysta z części 2: znajdź funkcję pierwotną, oblicz ją na końcach przedziału i odejmij. Działa to dlatego, że różniczkowanie i całkowanie są dokładnymi operacjami odwrotnymi. To jeden z najgłębszych i najużyteczniejszych wyników w całej matematyce.
Suma Riemanna z 8 prostokątami daje przybliżenie. Podstawowe twierdzenie daje wynik dokładny bez potrzeby prostokątów.
Praca wykonana przez zmienną siłę F(x) przy przesunięciu od a do b ma postać W = całka od a do b z F(x) dx = P(b) - P(a), gdzie P jest funkcją energii potencjalnej spełniającą P' = -F. Prędkość całkuje się do przemieszczenia; siła całkuje się do impulsu. To właśnie podstawowe twierdzenie sprawia, że takie obliczenia są wykonalne bez nieskończonych sum Riemanna.