W każdym trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej (boku leżącego naprzeciw kąta prostego) jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków. Jeśli przyprostokątne mają długości a i b, a przeciwprostokątna ma długość c, to a² + b² = c². Trójkąt 3-4-5 spełnia równość 9 + 16 = 25.
a² + b² = c². Dla trójkąta 3-4-5 mamy 9 + 16 = 25. Pole niebieskiego i czerwonego kwadratu razem jest równe polu dużego zielonego kwadratu.
Babilońskie tabliczki gliniane z około 1900 r. p.n.e. wymieniają trójki pitagorejskie (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), co pokazuje, że wynik był znany empirycznie na długo przed Pitagorasem. Jego szkoła (około 570 r. p.n.e.) podała pierwszy dowód. Dziś znamy ponad 370 różnych dowodów: algebraicznych, geometrycznych, trygonometrycznych, a nawet taki opublikowany w 1876 r. przez prezydenta USA Jamesa Garfielda.
Tabela trójek pitagorejskich
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
W n wymiarach odległość punktu (x₁, x₂, …, xₙ) od początku układu wynosi √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²). Wielkie twierdzenie Fermata (udowodnione przez Andrew Wilesa w 1995 roku po 358 latach) mówi, że dla n większego niż 2 nie istnieją całkowite rozwiązania równania aⁿ + bⁿ = cⁿ. Twierdzenie Pitagorasa jest więc przypadkiem n=2, dla którego takich całkowitych rozwiązań istnieje nieskończenie wiele.
Oba duże kwadraty mają bok długości a+b. Oba zawierają cztery identyczne trójkąty prostokątne. To, co pozostaje po odjęciu trójkątów, musi mieć to samo pole: po lewej a²+b², po prawej c².
W każdym trójkącie prostokątnym zachodzi równość a^2 + b^2 = c^2. Wynik był znany empirycznie Babilończykom około 1800 r. p.n.e., a pierwszy dowód podali pitagorejczycy około 570 r. p.n.e. Znamy dziś ponad 370 odrębnych dowodów, w tym jeden autorstwa prezydenta USA Jamesa Garfielda z 1876 roku. Całkowite rozwiązania nazywa się trójkami pitagorejskimi; wszystkie można otrzymać ze wzoru (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2). Wielkie twierdzenie Fermata (Wiles, 1995) pokazuje, że dla wykładników większych niż 2 nie ma analogicznych rozwiązań całkowitych. Twierdzenie uogólnia się na n wymiarów jako wzór na odległość euklidesową.