Każda liczba rzeczywista ma najlepsze przybliżenia wymierne: ułamki p/q, które przybliżają x lepiej niż jakikolwiek ułamek o mniejszym mianowniku. Mianowniki q₁, q₂, q₃, … rosną, lecz jak szybko? Paul Lévy udowodnił w 1935 roku, że dla prawie każdej liczby rzeczywistej qₙ^(1/n) dąży do e^β ≈ 3,27582, gdzie β = π²/(12 ln 2).
Dla prawie wszystkich liczb rzeczywistych ln(qₙ) rośnie liniowo z nachyleniem β ≈ 1,1865. Mianowniki konwergentów π (1, 7, 106, 113, 33102…) rosną średnio szybciej z powodu anomalnego ilorazu częściowego 292.
Złoty podział φ = [1;1,1,1,…] ma mianowniki będące liczbami Fibonacciego 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … rosnące z szybkością φ ≈ 1,618 na krok. To znacznie wolniej niż e^β ≈ 3,276, dlatego φ uchodzi za „najbardziej niewymierną” liczbę: jej przybliżenia poprawiają się najwolniej. Większość liczb ma mianowniki rosnące znacznie szybciej, z tempem e^β.
Porównanie tempa wzrostu mianowników dla złotego podziału i typowej liczby.
| φ = [1;1,1,1,…] | Typowa liczba |
|---|---|
| qₙ rośnie jak φⁿ ≈ 1,618ⁿ | qₙ rośnie jak (e^β)ⁿ ≈ 3,276ⁿ |
| Najwolniejszy możliwy wzrost | Twierdzenie Lévy’ego |
Wartość β = π²/(12 ln 2) pojawia się po scałkowaniu rozkładu Gaussa-Kuzmina. ln 2 bierze się z pracy w bazie 2, a π² z tych samych źródeł co ζ(2) = π²/6. Stała Lévy’ego wynosi 1,1865691104156254… a e^β = 3,275822918721811159787681882…
Iloraz częściowy 292 na kroku 5 sprawia, że mianowniki π rosną znacznie szybciej niż przeciętnie. Dla „typowej” liczby stosunek ln(qₙ)/n → β ≈ 1,187.
| n | Iloraz częściowy aₙ | Konwergent pₙ/qₙ | Mianownik qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0,00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0,97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1,55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1,19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2,52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1,74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1,54 |
Stała Lévy’ego beta = pi^2/(12 ln 2) ≈ 1,18657. Dla prawie każdej liczby rzeczywistej mianownik n-tego konwergentu qn spełnia qn^(1/n) → e^beta ≈ 3,27582. Paul Lévy udowodnił to w 1935 roku. Złoty podział, którego mianowniki Fibonacciego rosną z tempem phi ≈ 1,618, wypada daleko poniżej średniej, co potwierdza, że jest wyjątkowo trudny do przybliżania. Wzór łączy pi i ln 2, a więc geometrię okręgu z logarytmami poprzez rozkład Gaussa-Kuzmina.