Zsumuj odwrotności wszystkich liczb pierwszych nie większych niż n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Ta suma rośnie, ale niezwykle wolno: jak ln(ln(n)). Stała Meissela-Mertensa M jest dokładną różnicą między tą sumą a jej głównym składnikiem, tak jak stała Eulera-Mascheroniego γ jest różnicą między szeregiem harmonicznym a ln(n).
Euler udowodnił w 1737 roku, że suma odwrotności wszystkich liczb pierwszych jest rozbieżna. To znacznie trudniejsze niż wykazanie, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, i daje ilościowy obraz ich gęstości. Twierdzenie Mertensa mówi następnie, że Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), dzięki czemu M jest dokładnym wyrazem stałym.
Porównanie stałej Eulera-Mascheroniego i stałej Meissela-Mertensa.
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0,5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0,2615 |
| wszystkie liczby całkowite | tylko liczby pierwsze |
M i γ są powiązane wzorem M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Nie wiadomo, czy któraś z tych stałych jest niewymierna. Obie obliczono do miliardów miejsc po przecinku i przypuszcza się, że są transcendentalne, ale nie ma na to dowodu. M: 0,261497212847642783755426838608669…
Suma harmoniczna (niebieska): 2,93, 5,19, 7,49, 9,79. Suma odwrotności liczb pierwszych (rośnie jak ln(ln(n))+M): tylko 0,84, 1,18, 1,52, 1,85 w tych samych punktach.
Stała Eulera-Mascheroniego gamma mierzy różnicę między szeregiem harmonicznym (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) a ln(n). Stała Meissela-Mertensa M odgrywa tę samą rolę dla sumy odwrotności liczb pierwszych (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) względem ln(ln(n)). Obie są stałymi „korygującymi błąd” dla rozbieżnych szeregów rosnących logarytmicznie.
Stała Meissela-Mertensa M ≈ 0,26149 pełni dla odwrotności liczb pierwszych tę samą rolę, jaką stała Eulera-Mascheroniego pełni dla szeregu harmonicznego. Mertens udowodnił w 1874 roku, że 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + mały błąd. Nie wiadomo, czy M jest liczbą niewymierną. Pojawia się w twierdzeniu Mertensa o iloczynach po liczbach pierwszych oraz w gęstości liczb gładkich. M i gamma są powiązane szczególną sumą po wszystkich liczbach pierwszych.