φ (phi) jest dodatnim rozwiązaniem równania x² = x + 1. To równanie ma sens geometryczny: jeśli podzielisz odcinek tak, by stosunek całości do dłuższej części był równy stosunkowi dłuższej części do krótszej, to ten stosunek jest równy φ. Żadna inna liczba nie ma tej samopodobnej własności.
Tabela ilorazów liczb Fibonacciego zbieżnych do phi.
| Para Fib. | Iloraz | Odległość od φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1,000 | 0,618 |
| 2, 3 | 1,500 | 0,118 |
| 8, 13 | 1,625 | 0,007 |
| 55, 89 | 1,61818… | 0,00015 |
| → ∞ | 1,61803… | 0 |
Złoty podział pojawia się w regularnym pięciokącie i pentagramie, gdzie przekątne przecinają się w stosunku złotym. Każda liczba Fibonacciego podzielona przez poprzednią dąży do φ. Ułamek łańcuchowy [1; 1, 1, 1, …] jest najprostszym nieskończonym ułamkiem łańcuchowym: same jedynki. To sprawia, że φ jest najtrudniejszą liczbą do przybliżania ułamkami, stąd określenie „najbardziej niewymierna liczba”.
Wytnij kwadrat ze złotego prostokąta. Pozostała część jest kolejnym złotym prostokątem, mniejszym w skali 1/φ. Powtarzaj w nieskończoność. Łuk wyznacza złotą spiralę widoczną w muszlach i galaktykach.
φ spełnia φ² = φ + 1, więc φ = 1 + 1/φ. Podstawiając to wielokrotnie, dostajemy: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Ten nieskończony ułamek łańcuchowy z samych jedynek jest zarówno definicją, jak i powodem statusu „najbardziej niewymiernej” liczby. Wartość obliczona z pełną precyzją: 1,61803398874989484820…
W regularnym pięciokącie o boku długości 1 każda przekątna ma długość φ ≈ 1,618. Przekątne dzielą się też nawzajem w złotym podziale. Gdy narysujesz wszystkie pięć przekątnych, otrzymasz pentagram pełen złotych proporcji.
Złoty podział phi jest równy w przybliżeniu 1,61803398874989484820. Jest dodatnim rozwiązaniem równania x² = x + 1. Phi jest liczbą niewymierną, algebraiczną i granicznym ilorazem kolejnych liczb Fibonacciego. Pojawia się w regularnym pięciokącie i dwudziestościanie, w spiralach nasion słonecznika oraz w proporcjach badanych od starożytnej Grecji. Jego ułamek łańcuchowy [1; 1, 1, 1, ...] sprawia, że jest najtrudniejszą liczbą rzeczywistą do przybliżania ułamkami, dlatego filotaksja wykorzystuje złoty kąt wyprowadzony z phi.
Złoty podział φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the wzór kwadratowy.